阅读与思考 海伦和秦九韶教学设计实例

海伦和秦九韶

教学内容：必修五第一章1.2应用举例

“阅读与思考

海伦和秦九韶”（P21）

教学目标：

1、知识与技能：

（1）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同；会证明秦九韶公式与海伦公式；

（2）会用海伦—秦九韶公式解决传统数学文化中简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。 （3）培养学生发现问题、提出问题和分析问题、解决问题的能力，培养学生的猜想能力，发展学生的合情推理和概括能力．

2、过程与方法：

（1）经历探究证明秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维；

（2）提高学生应用能力，会解决传统数学文化中涉及三角形三边与面积之间关系问题。 3、情感态度价值观：

（1）通过中西结合，使学生了解我国优秀的传统数学文化，增强民族自豪感和民族文化自信心；激发学生的数学学习兴趣，培养学生的探究精神. （2）通过阅读材料中背后隐藏的思想方法，启发学生的人格成长，实施优秀传统数学文化的渗透。 教学重点：

了解我国优秀的传统数学文化，增强民族自豪感和民族文化自信心；海伦—秦九韶公式的证明与应用。 教学难点：海伦—秦九韶公式的证明与应用。 教学方法：引导探究、实例运用。

教学准备：数学史料、PPT 教学过程设计：

一、问题引领，学生探究

问题：我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”

1

里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，则该沙田的面积为多少？

这个转化为数学语言为下列图形：

你能利用已学的知识解决这个问题吗？

学生探讨，教师指导。

方法：余弦定理+面积公式SacsinB

另解：Sp(pa)(pb)(pc)，其中pabc. 212教师介绍：在历史上，公式Sp(pa)(pb)(pc)叫做海伦公式，形式漂亮，便于记忆.

古希腊的数学发展到亚历山大里亚时期，数学的应用性得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展.三角术的发展是由于人们建立定量的天文学，以便用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历，航海和研究地理而产生的.在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a、b、c直接求出三角形的面积.据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了公式Sp(pa)(pb)(pc)，这里pabc.但现在人们常常2以古希腊的数学家海伦(Heron)命名这个公式，称此公式为海伦公式. 海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用海伦公式可以更快更简便的求出面

2

积，比如说在测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

二、传统文化，增强自信

在我国历史上，1247年前后，南宋著名的数学家秦九韶（约1202—1261）在所著的《数书九章》中给出了另一个用三边表达三角形面积的公式—三斜求积术，秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法.三斜求积术就是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之.为实：一为从隅，开平方得积.”即：

122大2小2中22S[小大()]，

42其中，大、中小分别表示三角形条边长，即a，b，c.

用现代公式表示即为：

122a2c2b22S[ac()]

42

我国古代传统数学文化

秦九韶（1208年－1268年），字道古，生于普州安岳（今四川省安岳县），祖籍鲁郡（今河南范县）。

南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。

秦九韶聪敏勤学。宋绍定四年（1231），秦九韶考中进士，先后在湖北、浙江等地做官。他在政务之余，对数学进行潜心钻研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析、研究。

宋淳祐四至七年（1244－1247），写成了闻名的巨著《数书九章》。

《数书九章》的主要内容偏重于数学的应用方面，全书九章十八卷，分为九类，每类9题，共计81题。该书内容丰富至极，上至天文、星象、历律、测候，下至河道、水利、建筑、运输，各种几何图形和体积，钱谷、赋役、市场、牙厘的计算和互易。许多计算方法和经验常数直到现在仍有很高的参考价值和实践意义，被誉为“算中宝典”。

秦九韶的“大衍求一术”比西方1801年著名数学家高斯建立的同余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”。秦九韶的任意次方程的数值解领先英国人霍纳

3

572年。

秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它完全与海伦公式等价，它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平。

设计意图：从数学史角度看，世界上每一个民族都有自己的数学史，用自己本民族的语言叙述同一数学问题能够拉近学生的心理距离，同时让学生了解本民族的数学名词，增强对本民族数学文化的认同感．其次，让学生通过等式变形，学会知识间的融会贯通，感受数学变中之不变的美感，让学生体会中西数学家的珠联璧合，交相辉映．东西方数学家为数学的发展都作出应有的贡献，不同的表达方式，讲述了相同的内容，学生可从中感受数学统一性之美．

三、师生探究，公式证明

古希腊数学家海伦运用平面几何知识，证明海伦面积公式．中国古代数学家秦九韶只给出公式，用来解决一类问题的计算．

你能通过已学知识给出秦九韶(或海伦)面积公式的证明吗？

方法：利用余弦定理求出cosB，再根据Sa2c2b2证明：由余弦定理：cosB

2ac1acsinB进行证明.

2acb111SacsinBac1cos2Bac1

2222aca2c2b221122a2c2b22ac1[ac()]

2a2c24222222

122a2c2b22).即S[ac(42

思考：除了SacsinB，我们还学习过哪些三角形面积公式？

如：S121底高

24

设计意图：通过定理的证明，使学生认识到中西知识背后蕴藏的深刻文化意涵．处理面积公式的证明，主要是运用代数的运算，而代数运算的依据却需要形的支撑，因此要培养学生数学空间直观能力，渗透数形结合的思想，加强知识的综合运用．

四、公式应用，体现价值

例题

我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为

122a2c2b222S[ac()]．若asinC4sinA，(ac)212b2，则用“三斜求42积”公式求△ABC的面积. 【解析】根据正弦定理：由a2sinC4sinA得ac4，由(ac)212b2得a2c2b24，

则SABC1(164)3．

4abc10，ab12，

2变式1：在ABC中，若a+b=12，c=8，请用海伦公式求ABC面积的最大值. 【解析】pSp(pa)(pb)(pc)20(10a)(10b)

52(10a)(10b)

5[(10a)(10b)]85. 当且即时取等号仅当10a10b即ab时取等号. ∴Smax85.

变式2：在ABC中，若b2，sinC3sinA，请用秦九韶公式（三斜求积术）求ABC面积的最大值.

【解析】由sinC3sina得a3c，

122a2c2b2212a23a22222S[ac()][a3a()]

4242111[3a4(4a48a24)](a48a24)(a24)23444

5

当a24即a2时，Smax3.

五、师生小结，体现人文

海伦——秦九韶公式

海

伦：古希腊的数学家，代表作《测地术》、《测量仪器》、《度量术》等

Sp(p)a(p)b(p

)c秦九韶：南宋著名的数学家，代表作《数书九章》

122a2c2b22)]

三斜求积术

S[ac(42优秀传统数学文化

六、强化练习，融会贯通

1、定义一种四边形，四边长为整数，且它的面积也为整数的四边形，称之为海伦—秦九韶四边形．下列四边形中是海伦—秦九韶四边形的为（

）

2、《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文122c2a2b2字写成公式，即Sca42sinA:sinB:sinC2.现有周长为225的△ABC满足21:5:21，用以上给出的公式求得△ABC的面积为（

）

A.

3

4

B.3

2

6 C.5

4

D.5

2

【解析】因为sinA:sinB:sinC21:5:21，

所以由正弦定理得a:b:c21:5:21，又abc225，

所以a21，b5，c21，则ac211，c2a2b2651，

122c2a2b2故Sca422113.选A.

1244设计意图：练习1是以海伦为命名的原创性新定义型试题，各边都为正整数的直角三角形是一种特殊直角三角形，这样的正整数叫做勾股数，受勾股数的启发，各边为整数，代人海伦公式开根号不一定是整数，如开根号结果为整数，这样的三角形应该是比较有趣的特殊三角形，然后根据新定义试题的特点尝试编写一道以海伦四边形为背景的练习题，这样的练习题对于学生来说背景熟悉，正整数组成的特殊四边形又是极其稀有、珍贵的．学生探索这样的练习题会觉得比较好玩有趣。练习2是考查秦九韶公式和三角函数的综合运用．

七、思维深化，拓展延伸

将海伦公式推广到四边形，设a，b，c，d，是四边形ABCD的各边长，记Sp(pa)(pb)(pc)(pd)，这里pabcd. 2问：这个公式对任意的四边形是否成立？

一般来讲仅用四边长无法表达某个四边形面积（某些特例除外），必须添加某些条件. 由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，边长依次为a，b，c，d，那么四边形面积为

Sp(pa)(pb)(pc)(pd)，这里pabcd. 2同学们可以课后互相讨论或查阅相关的资料，研究解决．

设计意图：选做题，可供学有余力的学生课后钻研，提高自学能力．

教学反思

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将“阅读材料”编人教材的出发点有两个：一是体现教学内容的弹性，使教材更符合不同层次学生的发展，同时便于教师发挥创造性；二是帮助学生理解、掌握正文的内容，激励学生探究新的知识，开阔学生的视野，培养学生的人文精神．由于“阅读材料”不是教材的正文，在教学中往往被教师忽略，致使其应有的教学作用得不到充分地发挥．在一次九年级上的期末复习课上，“二次根式”一章中有阅读材料“海伦一秦九韶三角形面积公式”，笔者利用这一数学史的资源，进行了一次复习课的尝试，这次有益的探索，改变了以往数学复习单调做题的模式，还原了“阅读材料”的趣味性和数学知识的延伸和拓展，在“四基”方面收到很好的效果，同时体现了对学生的精神关注和文化熏陶，阐释了新的数学课程理念．

从教师方面看，有些教师认为“阅读材料”不属于考试内容，上和不上都不会影响教学质量，因此他们认为只要学生课后看一看就可以，根本没有必要引导学生研究、探讨和交流．教师的这种态度必然会直接影响学生对该内容的态度，学生会以为教师不重视的“阅读材料”是不重要的，从而忽略材料的阅读．

从学生方面看，由于应试需要，学生大部分时间都在应付教师的作业，对书本缺乏兴趣，再加上教师的不重视，很少意识到“阅读材料”的存在．当然也有些“阅读材料”内容难度太大，比较抽象，激不起学生的兴趣．

“阅读材料”是教材正文的补充和延伸，其内容能够揭示数学概念、法则和结论的发展过程和本质，体现数学的文化价值，对培养学生自主探索、合作交流和阅读自学的学习方式有重大意义，是重要的课程资源．为了不让“阅读材料”成为摆设，充分发挥它们在教学中的作用，应怎样有效地利用其为新课程改革增加效益呢? (一)端正对阅读材料的看法

首先，阅读材料既是教材正文内容的补充和延伸，又是引导学生自主开展数学活动，了解数学发展史，进行思想品德教育，开阔视野、发展能力的极好素材，是教材内容的重要组成部分．其次，阅读材料丰富了课程资源，增加了教材弹性．这种具有弹性的学习方式出现，体现了个体差异和不同发展的要求，有利于因材施教和促进学生个性特长的发展．第三，阅读材料有利于学生形成正确的数学观，阅读材料大量地介绍了古今数学的发展，深入浅出地反映了数学的应用，可以让学生了解人类社会的发展对数学发展的促进作用，认识数学发生发展的必

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然规律，了解数学对推动人类社会发展的作用，了解数学对于其他各种科学、技术、文化发展的作用，了解人类从数学的角度认识客观世界的过程．最后，阅读材料有利于改善教与学的方式．教师可以根据学生的基本需求和自身的条件，创造性地使用材料，尝试探究式教学、活动式教学、数学作文、课题作业等一些特殊的教学模式，激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯．

《二)“阅读材料”整合课例的实施过程

由于“阅读材料”的篇幅比较短小，要作为完整的课例的内容是远远不够的，这就要求教师能广泛一项重要素质．师生间的互动借助提问与回应，从开篇引入到深入，到提炼升华，应在课堂上贯穿始终．广泛占有资料，浓缩问题，创造性地发挥．实施的过程一般包括以下几个阶段：学习资料一选出适合于课堂教学的问题和试题一分析各问题的内在逻辑结构一制定课堂教学活动内容一完成方案一对活动的评价．

首先，教师要广泛阅读各种材料．这也意味着，教师要静下心来认认真真地读一些书．面对繁重的教学任务和升学考试压力，只靠一本教材、一本教参、几本习题集和教案集来教学，实际是在重复别人的劳动，而没有自己的创造，这样是难以上好“阅读与思考”课的．

其次，教师要深入挖掘材料背后隐含的价值．课后阅读材料的引入，绝非简单的移植和嫁接．尤其在数学新课程改革这一大背景下，更需要对数学史材料进行深入的挖掘、提炼、改造和升华．把学术形态的阅读材料转化为教育形式的教学材料，需要对材料中的概念、思想、方法进行认真的思考和清理，并进一步探索如何在课堂教学中将其展现出来，让学生体会材料内容的探索过程，或者尝试用材料中所描述的方法去解决一些问题．这种尝试，目的在于培养学生的创新意识和创造能力．

最后，“阅读材料”要全面渗透于教学的每个环节．“体现数学的人文价值”，这是数学课程标准的一条基本理念．要达到这一目标，对“阅读材料”仅作介绍是不够的，应将其背后隐藏的思想方法、对人格成长的启发作用以及多元文化意义渗透在教学过程中．

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