小结优秀教案范文

简单的线性规划

知识点：

（一）有关概念：

约束条件：由x、y的不等式所组成的不等式组称为x、y的约束条件。

线性约束条件：关于x、y的一次不等式所组成的不等式组称为x、y的线性约束条件。

目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式称为目标函数。

线性目标函数：关于x、y的一次目标函数称为线性目标函数。

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划问题。

可行解：满足线性约束条件的解(x，y)称为可行解。

可行域：所有可行解所组成的集合称为可行域。

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优解。

（二）解线性规划问题的步骤： (1)画：画出线性约束条件所表示的可行域；（直线定界，定点定域）

作出过原点的目标函数的辅助线 (注意比较斜率大小，主要是看陡坡) (2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；

(3)求：通过解方程组求出最优解；

(4)答：作出答案。

例题讲解：

线性规划问题是解析几何的重点，每年高考必有一道小题。

一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题

2xy2例1、设变量x、y满足约束条件xy1，则z2x3yxy1的最大值为

。

解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。

图12xy120，练习：1.若x、y满足条件求zx2y的最大值和最小值．

3x2y100，x4y100.

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题

x1,例2、已知xy10,则x2y2的最小值是 . 2xy20图2

解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而x2y2表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A（1，2）是满足条件的最优解。x2y2的最小值是为5。

点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

x－y＋1≤0，y练习：1．若实数x、y满足则的取值范围是 xx>0，

(

) A．(0,1)

B．(0,1] C．(1，＋∞)

D．[1，＋∞)

x4y3,3x5y25,x1.

22zxy2.设，式中的变量x、y满足试求z的最大值、最小值．

(1)求(x+2)2+(y-8)2最小值

(2)求y/x的最大值；

(3)求2x+y的最大值

(4)若ax+y在点（8，6）处取得最大值;求a的取值范围；

(5)若有无数个点使得ax+y为最大值，求a的值. 4.已知：-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3，求a+3b的取值范围。

三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 例x03、在约束条件下，当3s5时，目标函数y0yxsy2x4C z3x2y的最大值的变化范围是（）

A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]

解析：画出可行域如图3所示,当3s4时, 目标函数z3x2y在B(4s,2s4)处取得最大值, 即zmax3(4s)2(2s4)s4[7,8);当4s5时, 目标函数z3x2y在点E(0,4处取得最大值,即zmax30248,故z[7,8],从而选D; 点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。

1.

已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是

（

）

A、（-3,6）

B、（0,6）

C、（0,3）

D、（-3,3）

四、已知平面区域，逆向考查约束条件。

例4：用不等式表示以A(1,4)，B(3,0)，C(2,2)为顶点的三角形内部的平面区域．

五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。

1xy4例5已知变量x，y满足约束条件。若目标函数2xy2zaxy（其中a0）仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为 。

解析：如图5作出可行域，由zaxyyaxz其表示为斜率为a，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数zaxy（其中a0）仅在点(3,1)处取得最大值。则直线yaxz过Ａ点且在直线xy4,x3（不含界线）之间。即a1a1.则a的取值范围为(1,)。

点评：本题通过作出可行域，在挖掘a与z的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。

xy51.已知x、y满足以下约束条件xy50，使z=x+ay(a>0)取得最x3小值的最优解有无数个，则a的值为

（

）

A、－3 B、3 C、－1 D、1

六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题

xy20例６在平面直角坐标系中，不等式组xy20表示的y0平面区域的面积是（）

(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 xy20解析：如图６，作出可行域，易知不等式组xy20y0表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：S|BC||AO|424.从而选Ｂ。

点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。

备选例题：

yx11yx1所表示的平面区域的面积．

1.

求不等式组1212x≥0，2.

(2009·安徽高考)若不等式组x＋3y≥4，3x＋y≤4

所表示的平面区域被直线

y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是

34

B. C. 73

3D. 443

A.7

3x≤03.

若A为不等式组y≥0y－x≤2

表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为__________．

七、研究线性规划中的整点最优解问题

例7、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足5x11y22,约束条件2x3y9,则z10x10y的最大值是(A)80 2x11.(B) 85 (C) 90 (D)95 解析：如图７，作出可行域，由z10x10yyx表示为斜率为1，纵截距为11922z，它10z的平行直线系,要使z10x10y最得最大值。当直10线z10x10y通过A(,)z取得最大值。因为x,yN，故Ａ点不是最优整数解。于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，Zmax90.

点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。

备选例题：

4x3y200,x3y20,xN*,yN*.1.设z7x5y式中的变量x、y满足下列条件1两种毛坯数量比大于3配套，怎样截最合理？

求z的最大值．

2. 有一批钢管，长度都是4000mm，要截成500mm和600mm两种毛坯，且这八、应用题举例

1. 某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品A、B、C，每消耗一吨燃料与产品A、B、C有下列关系：

现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为2:3，现需要三种产品A、B、C各

50吨、63吨、65吨．问如何使用两种燃料，才能使该厂成本最低？

2.某糖果厂生产A、B两种糖果，A种糖果每箱获利润40元，B种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间（单位：分钟）

混合

烹调

包装

A

B

1 2 5 4 3 1 每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12机器小时，烹调的设备至多只能用机器30机器小时，包装的设备只能用机器15机器小时，试用每种糖果各生产多少箱可获得最大利润．

3.设x0，y0，z0；p3xy2z，qx2y4z，xyz1，用图表示出点(p,q)的范围．

4.

咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克，乙种饮料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克．已知每天原料的使用限额为奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克．如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？