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人教版高中数学

必修五

3.4.1基本不等式

（第一课时）

《§3.4.1基本不等式》的教学设计

成都西北中学 肖明祖

教材：人教版高中数学必修5第三章

一、教学内容

本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不等式的性质”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。在探究基本不等式内涵和证明的过程中，通过学生问题尝试、问题体验、规律总结、证明等环节，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；在应用的过程中，通过对条件的转换和变式，有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯，进而形成严谨的思维方式。

二、教学目标

1．通过问题尝试探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；

2．进一步让学生探究不等式的代数证明，尝试不等式的证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。 3．通过例题让学生学会用基本不等式求最值，尝试基本不等式的初步应用。

三、学情分析

对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。

四、教学策略分析

在教学过程中学生往往会直接应用不等式而忽略成立的条件，因此本节课的重点内容是对基本不等式的证明、理解和简单的运用。在运用过程中生成的规律，因此理解基本不等式和活应用基本不等式是本节课难点

五、教学过程：

教学环节

创设情境导入新

课

（生活体验）

内

容

及

说

明

设

计

意

图

下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。

1．培养学生识图

和分析数据的能

力，并通过对数量

关系的分析得出

基本不等式的雏

形，进而逐步发现

基本不等式的本

质和成立条件。

2．鼓励学生独立通过情境引发联想，学生深切感受到我国数学科学的悠久历史和思考，充分发挥学深厚的文化底蕴，以及我国的数学成就对世界数学文明的影响和发展生的创新和想象做出的卓越贡献，激发学生喜欢数学，学好数学的热情。

能力，进而发现基本不等式的实质。

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必修五

3.4.1基本不等式

（第一课时）

一、探究基本不等式 （问题尝试） 1、引导学生从形和量上分析弦图，等到重要不等式a2b22ab

2、利用作差法证明重要不等式，为后面基本不等式的证明作铺垫

会标的设计源中国古代数学家赵爽为了证明发明于中国周代的勾股定理而绘制的弦图。它既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学精英们。

思考1：这会标中含有怎样的几何图形？

思考2：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？

思考：你能给出不等式a2b22ab的证明吗？

2结论：一般地，对于任意实数a、b，总有a仅当a=b时，等号成立

b22ab，当且文字叙述为:两数的平方和不小于它们积的2倍. 二、证明基本不等式（尝试证明）

一般的我们都用a，b表示，那么若将上式中的a，b换成a，用代数的方法证明基本不等式，进而使学生加深对基本不等式的理解，理解基本不等式中不等号和等号成立的条件；引导学生自己动手写出证明过程，并自我总结归纳基本不等式运用的条件，有利于学生准确、灵活应用。

b，你又会得出什么结论？如何证明？

投影展示：要证abab，

2只要证ab2ab，

只要证ab2ab0，

只要证(ab)20，

显然式子成立，当且仅当ab取等号。

这样我们又一次得到了基本不等式。根据以上证明学生已经基本了解了基本不等式的形式和推导方法，同学们是否真正理解了基本不等式的含义。

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必修五

3.4.1基本不等式

（第一课时）

四、应用基本不等式（应用尝试）

探究二：

如右图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，ACa，对图形进一步分BCb。过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD。你能利用析，引导学生发现ab几何平均数和算(a0,b0)的几何解释吗？

这个图形，得出ab术平均数，让学生2体会不仅能以数证明：因为ACDBCD，所以CDab。 D 证形，寻找数量关系的几何解释，还由于CD小于或等于圆的半径，

ab可以通过对图形(a0,b0) 用不等式表示为abB 的观察分析以形A 2O C 识数，进而完善前显然不等式当且仅当点C与圆心结合，

面的代数结论。

即当ab时，等号成立

ab

结论:ab是a、b的几何平均数，是a、b的算术平均数。

2代数解释是几何平均数不大于算术平均数。

几何解释为半弦不大于半径。

四、应用基本不等式

五

归纳总结、内化知识

1当x取什么值时，y=x（其中x0）的值最小？x例：

1、基本不等式有什么作用？

2、应用基本不等式需要注意什么？

通过提问让学生在头脑中形成自己的知识体系，自己总结检验本节课的听课效果，是否还有自己没听懂的问题一下就清楚了。

七、教学设计说明

不等式对高中的学生来说不陌生，但基本不等式则是一个新的知识点出现在高中数学教材中，让学生又学会一种求函数最值得方法，所以学生只有真正理解了才会用起来得心应手。

本节课为此节第一课时，对基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用放在后面两个课时。因此本节课为重点对基本不等式的证明进行探讨，加强学生对基本不等式的了解。基本不等式公式的引出利用了两种方法：代数法和几何法。代数学通过图形展示，让学生自己找出不等式关系，从而引出结论。又利用完全平方差公式更容易的看出公式成立的条件。最后用几何法，移动弦的位置更直观的看出公式形成的过程。两种方法就是希望学生真正理解公式的由来。从而能够灵活运用。

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