阅读与思考 海伦和秦九韶课堂实录【3】

学习目标

1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．

知识点一

等差数列的概念

思考

给出以下三个数列：

(1)0,5,10,15,20；

(2)4,4,4,4，…；

(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. 它们有什么共同的特征？

答案

从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数．

梳理

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零．

知识点二

等差中项的概念

思考

观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：

(1)2,4；(2)－1,5；(3)a，b；(4)0,0. 答案

插入的数分别为3,2，a＋b，0. 2a＋b梳理

如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项，且A＝. 2知识点三

等差数列的通项公式

思考

对于等差数列2,4,6,8，…，有a2－a1＝2，即a2＝a1＋2；a3－a2＝2，即a3＝a2＋2＝a1＋2×2；a4－a3＝2，即a4＝a3＋2＝a1＋3×2. 试猜想an＝a1＋(

)×2. 答案

n－1 梳理

若一个等差数列{an}，首项是a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.此公式可用累加法证明．

类型一

等差数列的概念

例1

判断下列数列是不是等差数列？

(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；

(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；

(3)1,2,1,2，…；

(4)1,2,4,6,8,10，…；

(5)a，a，a，a，a，…. 解

由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列．

反思与感悟

判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是否为同一个常数，但数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n≥1，n∈N*)是不是一个与n无关的常数．

跟踪训练1

数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列(

) A．是公差为2的等差数列

B．是公差为5的等差数列

C．是首项为5的等差数列

D．是公差为n的等差数列

答案

A 解析

∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，

∴{an}是公差为2的等差数列．

类型二

等差中项

例2

在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．

解

∵－1，a，b，c,7成等差数列，

∴b是－1与7的等差中项，

－1＋7∴b＝＝3. 2－1＋3又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1. 23＋7又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5. 2∴该数列为－1,1,3,5,7. 反思与感悟

在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即an＝an＋1＋an－1，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项2

的等差中项．

跟踪训练2

若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．

解

由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8. 又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10. 两式相加，得m＋n＝6. m＋n所以m和n的等差中项为＝3. 2类型三

等差数列通项公式的求法及应用

命题角度1

基本量(a，d) 例3

在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an. a1＋5d＝12，解

由题意可得

a＋17d＝36.1

解得d＝2，a1＝2. ∴an＝2＋(n－1)×2＝2n. 反思与感悟

像本例中根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．

跟踪训练3

(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；

(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？

解

(1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，

由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49. (2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1. 由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，

即－401是这个数列的第100项．

命题角度2

等差数列的实际应用

例4

某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？

解

根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．

所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费．

令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，

那么当出租车行至14 km处时，n＝11，

此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．

即需要支付车费23.2元．

反思与感悟

在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．

跟踪训练4

在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5℃，5 km高度的气温是－17.5℃，求2 km，4 km,8 km高度的气温．

解

用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，

由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，

解得d＝－6.5，

∴an＝15－6.5n. ∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，

即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2℃，－11℃，

－37℃.

1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为(

) A．2

C．－2

答案

C 解析

由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2. 2．已知在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于(

) A．30°

C．90°

答案

B 解析

因为A，B，C成等差数列，

所以B是A，C的等差中项，

则有A＋C＝2B，

又因为A＋B＋C＝180°，

所以3B＝180°，从而B＝60°. 13．等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，求n的值．

3解

∵a2＋a5＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＝2a1＋5d＝4，

2∴d＝. 3B．60°

D．120°

B．3 D．－3

1221∴an＝＋(n－1)×＝n－. 333321由an＝n－＝33，

33解得n＝50.

1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法：

(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；

(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；

(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．

但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．

2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．

40分钟课时作业

一、选择题

1．若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是(

) A．b－a

b－aC.

3答案

C 解析

由等差数列的通项公式，

得b＝a＋(4－1)d，

b－a所以d＝. 32．已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于(

) A．15

C．7

答案

A 解析

设{an}的首项为a1，公差为d，

a3＋a8＝a1＋2d＋a1＋7d＝22，根据题意得

a6＝a1＋5d＝7，b－aB.

2b－aD.

4B．22 D．29

解得a1＝47，d＝－8.

所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15. 3．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是(

) A．第7项

B．第8项

C．第9项

D．第10项

答案

B 解析

∵a1＝20，d＝－3，

∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，

∴a7＝2＞0，a8＝－1＜0. 4．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为(

) A．26

B．29 C．39

D．52 答案

C 解析

∵5，x，y，z,21成等差数列，

∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项．

∴5＋21＝2y，

∴y＝13，x＋z＝2y＝26，

∴x＋y＋z＝39. 5．若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列是(

) A．公差为1的等差数列

B．公差为13的等差数列

C．公差为－13的等差数列

D．不是等差数列

答案

B 解析

由3an＋1＝3an＋1，

得3an＋1－3an＝1，

即a1n＋1－an＝3，

所以数列{a是公差为1n}3的等差数列．

6．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是(

A．15

B．30 C．31

D．64 答案

A )

a4＝a1＋3d＝1，解析

由

a7＋a9＝2a1＋14d＝16，

得7d＝4，17a1＝－，4

177∴a12＝a1＋11d＝－＋11×＝15. 44二、填空题

7.2－1与2＋1的等差中项是________．

答案

2 解析

设等差中项为a，

则有a＝2－1＋2＋1＝2. 28．若一个等差数列的前三项为a,2a－1,3－a，则这个数列的通项公式为________．

n答案

an＝＋1，n∈N*

4解析

∵a＋(3－a)＝2(2a－1)，

5∴a＝. 4537∴这个等差数列的前三项依次为，，，

424151n∴d＝，an＝＋(n－1)×＝＋1，n∈N*. 44449．若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________. 答案

24 解析

设{an}的公差为d. a15＝a1＋14d＝8，由题意知

a60＝a1＋59d＝20，

a＝15，解得4d＝15，164

644所以a75＝a1＋74d＝＋74×＝24. 151510．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是________．

8答案

设an＝－24＋(n－1)d，

a9＝－24＋8d≤0，由

a10＝－24＋9d>0，

8解不等式得

411．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n≥2，n∈N*)，

an－11令bn＝. an－2(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

4(1)证明

因为an＝4－(n≥2)，

an－142an－2所以an＋1－2＝2－＝(n≥1)，

anan1an11所以＝＝＋(n≥1)，

an＋1－22an－22an－2111所以－＝(n≥1)，

an＋1－2an－221即bn＋1－bn＝(n≥1)．

2所以数列{bn}是等差数列．

11(2)解

由(1)知a－2是公差为的等差数列，

2n111n所以＝＋(n－1)·＝，

22an－2a1－22解得an＝2＋. n2所以数列{an}的通项公式为an＝2＋. n12．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：

时间t(s)

距离s(cm)

(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？

(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？

解

(1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以该模型是一个等差数列模型．因为a1＝9.8，d＝9.8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9.8t. 1

9.8

2

19.6

3

29.4

…

…

？

49

…

…

60 ？

(2)当t＝1 min＝60 s时，s＝9.8t＝9.8×60＝588 cm. s49当s＝49 cm时，t＝＝＝5 s. 9.89.813．已知等差数列{an}：3,7,11,15，…. (1)135,4m＋19(m∈N*)是{an}中的项吗？试说明理由；

(2)若ap，aq(p，q∈N*)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明你的理由．

解

a1＝3，d＝4，an＝a1＋(n－1)d＝4n－1. (1)令an＝4n－1＝135，∴n＝34，

∴135是数列{an}中的第34项．

令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5∈N*，

∴4m＋19是数列{an}中的第m＋5项．

(2)∵ap，aq是数列{an}中的项，

∴ap＝4p－1，aq＝4q－1. ∴2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1) ＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1，

其中2p＋3q－1∈N*，

∴2ap＋3aq是数列{an}中的第2p＋3q－1项．