小结教案范文

利用基本不等式求最值的再思考

天台苍山中学 白普松

【教学目标】1.通过学习，加深对基本不等式的理解，能灵活运用基本不等式解决有关问题.2.通过对问题组的探究，培养学生观察、比较、分析、归纳等数学意识与解决问题的能力.3.激发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，树立积极的学习态度.【教学重点】追求多元解题方法，强化基本不等式的灵活运用.【教学难点】通过题组训练，引导学生探寻解决一类问题的通性通法.

【教学设计】

一.复习引入1.课前练习再现3(1)设0x,求函数yx(32x)的最大值.21(2)已知x2,求函数yx的最小值.

xx23x4(3)已知x3,求f(x)的最大值.x381(4)已知x0,y0,且满足1,求x2y的最小值.xy活动：展示有代表性解法，请学生点评.2.通过上一环节，引导学生归纳基本不等式的适用条件及注意事项.(1)a+b2ab (积定求和最小值问题)ab2(2)ab() (和定求积最大值问题)2(3)使用条件：一正、二定、三相等.活动：板书基本概念.

二.

问题组展示【问题1】已知x0,y0,且xyxy,求xy的最小值.活动：让学生相互讨论，寻求多种解题方案.11解法1：xyxy1xy11yxxy(xy)()24

xyxy当xy2时,xy取得最小值4.

解法2：xy=xy2xyxy2xy0xy2xy2xy4当xy2时,xy取得最小值4.解法3：xyxy(xy4当xy2时,xy取得最小值4.x，其中x1x1xx111xyxxx124

x1x1x1当xy2时,xy取得最小值4.解法4：xyxyy解法5：xyxy(x1)(y1)1xy(x1)(y1)22(x1)(y1)24

当xy2时,xy取得最小值4.

xy2)(xy)24(xy)02

【问题2】已知x0,y0,且xyxy-3,求xy的最小值.活动：让学生对照问题1的五种解法，尝试求解.结果：第一种解法明显不适用.

【问题3】已知x0,y0,且xyxy-3,求x2y的最小值.活动：让学生对照问题2的四种解法，尝试求解.结果：两种解法束手无策.解法1：略

解法2：xyxy-3(x1)(y1)4，满足x1,y1x2y(x1)2(y1)322(x1)(y1)342+3

当x122,y12时，x2y取最小值42+3.【问题4】是否可以推广为“已知(x1)(y1)=m(x0,y0,m0),求axby(a0,b0)的最小值”呢？归纳总结：

若已知等式可以分解为(x1)(y1)m(x0,y0，m0)的形式，则都可以求axby(a0,b0)的最小值. 即axby=a(x1)b(y1)ab2ab(x1)(y1)ab2abmab

牛刀小试:(2014重庆理数7)已知x0,y0且x2y2xy8,则x2y的最小值是__.【问题5】刚才的归纳总结是否可以再次升华呢？ 若已知正数x,y满足mxnypxyq0,在m,n,p,q满足一定的条件下，是否可以求axby(a0,b0)的最小值?三.课堂小结【问题6】本节课你有什么收获？都涉及到哪些数学思想方法？2.换元法，消元法，配凑发，分离常数法，整体代换法.四.课后作业1.化归与转化思想、方程的思想，函数的思想，数形结合的思想.

1.已知正数x,y满足,且xy+2xy4,求xy的最小值.(至少两种方法)2.若正数x,y满足3xy+xy9,求x3y的最小值.(至少两种方法)3.思考题:设x,y为实数，若4x2y2+xy1,求2xy的最大值.