复习参考题特级教师教学实录

基本不等式（第二课时）

利用基本不等式求最值（教学设计）

韶关市第五中学 蔡昱雄

一、教学目标

（一）、知识与技能：掌握基本不等式，会应用基本不等式求最值。

（二）、过程与方法：通过例题，掌握基本不等式求最值的方法以及最值步骤。

（三）、情态与价值：通过讨论，提出新问题，让学生产生兴趣，培养理论与实际相结合的能力。

二、教学重点：基本不等式求最值步骤

三、教学难点：基本不等式求最值的满足的条件

四、教学过程

（一）、回顾基本不等式：

abab(a0,b0)

当且仅当ab时，“=”成立

2 变形：ab2ab(a0,b0)

强调变形后，不等式的左边为“和”

ab2ab（）(a0,b0)强调变形后，不等式的左边为“积”

2

（目的：让学生回顾基本不等式的条件，结论，以及简单变形，时间：2分钟）

（二）、引入新课：

讨论：

a0,b0,若ab6,则ab有最____(大、小)值，其值为______a0,b0,若abM(常数),则ab有最____(大、小)值，其值为______

结论：和为定值，积就有最大值

a0,b0,若ab9,则ab有最____(大、小)值，其值为______ a0,b0,若abN(常数),则ab有最____(大、小)值，其值为______结论：积为定值，和就有最小值

（目的：利用基本不等式，求两个数和（积）最值，要满足的条件，时间：4分钟）

例1：已知x0，

求f(x)x4x的最小值 （分析：积为定值，和的最小值）

4解：x0,0x由基本不等式得：f(x)xf(x)的最小值的4

（目的：本例题老师分析，由学生自行完成解题过程，再有老师完善及规范解题步骤）

（总结出求最值的步骤：一、正；二、定；三、相等；四、最值。时间：5分钟）

已知x0,求f(x)x的最大值变式1： 4x4442x4，当且仅当x时，即x2,""成立xxx4440,f(x)x[(x)()]xxx44由基本不等式得：(x)()2(x)()4xx4当且仅当x时，即x2,""成立x44f(x)x[(x)()]4xxf(x)的最大值为4解：x0,x0,

（积为定值，和的最小值，当结论与题目不符时，引导学生，当条件不符合时，要创造符合的条件解题，时间：4分钟）

讨论：能否用基本不等式求

f(x)x（提示学生看例一的解题题）

这题是给出函数的图像，利用函数的单调形，

同时也可以检验变式1的解题结果

4xx（0,1]的最大值过程，让学生自行发现问

（强调钟）

变式2：

求f(x)x4(x3)的最小值x3解题步骤“三相等”重要性，时间：1分f(x)(x3)4432(x3)()37x3x3

引导学生回顾解题步骤，当不是定值，要用基本

不等式，要定值，如何产生定值？

让学生口答，强调添一项后，用基本不等式后，

不要漏了“+3”，时间2分钟

求f(x)4x变式3：

4(x3)的最小值x3f(x)4(x3)441224(x3)()1220x3x31616(4x12)124x124x12162(4x12)()12204x12f(x)4x（学生口答完成，有两种凑定值的方法，时间2分钟）

bc(x)的最小值（a,b,d0）dxcd加深了解这类函数的最值情况，时间2分钟

f(x)ax小结：通过软件，观察函数图像

求f(x)x(1x),(0x1)的最大值（分析：和为定值，积的最大值）

例2，

解：0x1x0,1x0由基本不等式得：f(x)x(1x)(x1x21)241当且仅当x1x时，即x“,”成立21f(x)的最小值为4

（答案投影出来，用时2分钟）

1变式1： 求f(x)x(12x)x(0，)的最大值2（让学生思考，口述完成，时间3分钟）

1f(x)x(12x)2x(x)2(

2

x1x12)228f(x)x(12x)112x12x212x(12x)()2228小结：凑定值的方法是凑系数，

一种凑括号里面x的系数；一种凑括号外面x的系数。

1求f(x)5x(13x)(0x)的最大值变式2： 3

（学生口答完成，时间2分钟）

f(x)5x(13x)5x3(1x)15x(1x)33

1xx53

15()2212

553x13x25f(x)5x(13x)3x(13x)()

33212

bf(x)ax(bcx)(0x)的最小值（a,b,c0）小结：通过软件，观察函数图像

c通过可以看图像，得出图像为抛物线，考虑对称轴，即可求最值，时间2分钟。

思考： 求f(x)2x2(1x2)(0x1)的最大值

（图像不是抛物线，时间2分钟）

x21x22122解法1：f(x)2x(1x)2()22

解法2：令x2t，0x10x21

则y2t(1t)(0t1)，求y的最大值

小结：

ab2ab(a0,b0)当ab为定值时，ab有最小值：2ab

ab(ab2)2(a0,b0)当ab为定值时，ab有最大值（ab2）2 利用基本不等式求最值步骤：一正、二定、三相等（时间1分钟）

3求f(x)16x(34x)(0x)的最大值思考：

4

3求f(x)16x2(34x2)(0x)的最大值2 3求f(x)16x2(34x)(0x)的最大值 4

拓展：

（a0,b0,c0）

变形：

abc3abc当且仅当“abc”时，“”成立3abc33abc2abc(abc3)3

3求f(x)16x(34x)(0x)的最大值4

f(x)16x2(34x)1616x3x34x316(x)(3x)(34x)()3333xx34x332x2)16()33

f(x)16x2(34x)16xx(34x)16(

f(x)16x2(34x)4(2x)(2x)(34x)4(2x2x34x3)43

（给出三种解法，让学生自行判断，时间4分钟）

通过软件，观察函数图像 3 f(x)16x2(34x)(0x)验证最值，

4同时强调求最值的步骤还是一正、二定、三相等。

时间：1分钟

作业：

教学过程：

本节课的内容是利用基本不等式求最值，重点是掌握解题步骤，难点是条件不满足时，要创造条件，当条件是负数时或是“=”不能取时，通过函数图像来，观察验证结果，让学生直观的了解到，步骤每一步都不能少，特别是定值不满足时，要用bcf(x)ax(x)的最小值（a,b,d0）凑的方法来凑定值。如类函数 ，验证dxcd解题结果，让学生自己动笔，规范解题步骤。

bf(x)ax(bcx)(0x)的最小值（a,b,c0）通过图像可得，这类函数 c可以图像是抛物线，从而得出简单的求解方法，为了让学生能掌握基本不等式求最大1，已知x5,求f(x)x1的最小值x52，已知0x1,求f(x)2x（13x）的最大值3求f(x)2x(1x)(0x1)的最大值值的方法，让学生 ，这题也可以换元用二次函数来求解。

223最后拓展了基本不等式，求 f(x)16x2(34x)(0x)的最大值，给出三种4解法，让学生自己判断，同时强调解题步骤还是一正、二定、三相等。

教学反思：

教学过程中，让学生动笔的时间较少，思维能力较多，通过图像可以验证结果，也可以了解函数图像的性质（奇偶性，单调性），本节课只出现了2种题型，还有“1”的应用求最值，如： 已知ab0,2ab1，求的最小值，没有涉及到，同时练习量1a2b

较少。应该在增加练习量，“1”的应用题型要增加，

拓展内容难度有些大，可以删去。