1.3 二项式定理（通用）第一课时评课稿

1.3 二项式定理第一课时(薛婧) 一、教学目标

1．核心素养

通过二项式定理的推导过程的学习，提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的数学思想，增强学生的逻辑推理能力. 2．学习目标

(1)初步掌握求二项展开式. (2)熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 3．学习重点

熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 4．学习难点

熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务（阅读教材完成）

n1.二项式定理：（ab）

；

n2.(1)的二项展开式中共有

项；

（ab）

(2)二项式系数：

；

(3)二项展开式的通项公式：Tr1

，它是展开式的第

项. 2．预习自测

11.二项式(x)9的展开式的第3项是(

) xA．－84x3

B．84x3

C．－36x5

D．36x5

解：D 2．(1＋x)7的展开式中x2的系数是(

) A．42

B．35

C．28

D．21 解：D 23．在(x)6的二项展开式中，常数项等于________．

x解：－160 （二）课堂设计

1．知识回顾

(1)错误！未找到引用源。；

(2)错误！未找到引用源。

(3)错误！未找到引用源。

2．问题探究

问题探究一

探究归纳，形成二项式定理

●活动一

回顾旧知，回忆展开式

(a+b)4=(a+b) (a+b) (a+b) (a+b)展开式中的各项是什么？

思考：ab3是怎样来的？有多少个？

引导学生追究每个系数的来源，借助于组合的思想找到规律，从中体会到探索的乐趣.归纳结论：由上面的探索得到：(a+b)4=C04a4+C14a3b+C24a2b2+C34ab3+C44b4

●活动二

大胆猜想(a+b)n展开式中的各项是什么？

归纳：一般对于任意的正整数n,有：

(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+…+Crnan-rbr…+Cnnbn

(n∈N*) 并指出：①这个式子所表示的定理叫二项式定理.右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式.各项系数Crn（r=0、1、2、…、n）叫做二项式系数.②式子中的Crnan-rbr叫做二项展开式的通项.记做：Tr+1=Crnan-rbr. 上述结论是从分析了少数特例后，得出了一般的结论，这种方法叫不完全归纳法，还需用数学归纳法证明，但这里教材不要求证明了. 问题探究二

利用二项式定理能解决问题？

1.求二项式的指定项或其系数

例1.（1）(1＋x)7的展开式中x2的系数是(

) A．42

B．35

C．28

D．21 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：选D 依题意可知，二项式(1＋x)7的展开式中x2的系数等于C215＝21. 7×1（2）在(2x2－)5的二项展开式中，x的系数为(

)

xA．10

B．－10

C．40

D．－40 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

11解：D.(2x2－)5的展开式的通项为Tr＋1＝C5r

(2x2)5－r(－)r＝C5r25－r(－1)rx10－3 r，令10-3r＝1xx得，

32r＝3，∴T4＝C52(－1)3x＝－40x.∴x的系数是－40.

2例2.（1）在(x)6的二项展开式中，常数项等于________．

x【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

2r6－rr6－2r解：-160.由通项公式得Tr＋1＝C6x()r＝(－2)rC6x，令6－2r＝0，解得r＝3，所以是第x34项为常数项，T4＝(－2)3C6＝－160. a(2)已知(x)8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是(

) xA．28

B．38

C．1或38

D．1或28

【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：选C 由题意知C84·(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38. 例3.(1) 在(x－2)5(2＋y)4的展开式中x3y2的系数为________．

【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：480

(x－2)5的展开式的通项为Tr＋1＝C5rx5－r(－2)r，

r令5－r＝3得r＝2，得x3的系数C52(－2)2＝40；(2＋y)4的展开式的通项公式为Tr＋1＝C4(2)4－r2yr，令r ＝2得y2的系数C4(2)2＝12，于是展开式中x3y2的系数为40×12＝480. (2)

在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x4的项的系数是________．

【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：－15.从4个因式中选取x，从余下的一个因式中选取常数，即构成x4项，即－5x4－4x4－3x4－2x4－x4，所以x4项的系数应是－1－2－3－4－5＝－15. 3．课堂总结

【知识梳理】

二项式定理及其通项公式

0n1n1.二项式定理：(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)

n2.(1)的二项展开式中共有错误！未找到引用源。项；

（ab）

(2)二项式系数：错误！未找到引用源。；

rnrr

(3)二项展开式的通项公式：Tr1Cnab. 【重难点突破】

常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性. 4．随堂检测

11.(x2)6的展开式中x3的系数为________(用数字作答)．

x【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

11rr12－3r()r＝C6解：20.由(x2)6的展开式的通项为Tr＋1＝C6(x2)6－r·x，令12－3r＝3，得r＝3，xx3所以展开式中x3的系数为C6＝20. 2.(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

r4－rr33解：2.(a＋x)4的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C4ax，令r＝3，得含x3的系数为C4a，故C4a＝8，解得a＝2. 23.若二项式(x)n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为(

) xA．6

B．10

C．12

D．15 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：选C Tr1C(x)rnnrn3r2rn3rrr()(2)Cnx2，当r＝4时，＝0，又n∈N*，所以n＝12. 2x14．(1＋x＋x2)(x)6的展开式中的常数项为________．

x【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

1r3解：－5.解析：(x)6的展开式的通项为Tr＋1＝C6(－1)rx6－2r，当r＝3时，T4＝－C6＝－20，x4－2当r＝4时，T5＝C6x＝15x－2，因此常数项为－20＋15＝－5. （三）课后作业

基础型

自主突破

1.二项式(xy)5的展开式中,含x2y3的项的系数是_________.(用数字作答) 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

5r23解：10

解析Tr+1=Cxy(r=0,1,2,3,4,5),由题意知,∴含x2y3的系数为C510. r3r55-rr2.(2x-16)的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答) x【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：-160 (2x-161rrr6r)的展开式项公式是Tr1C6(2x)6r()C62(1)rx3r.由题意知xx

333r0,r3,所以二项展开式中的常数项为T4C362(1)160. 13.在(x)6的二项展开式中,常数项等于_________. x【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

3解：-20 展开式通项Tr1(1)rC6rx6rxr(1)rC6rx62r,令6-2r=0,得r=3,

故常数项为C620. 5a4.设常数aR.若x2的二项展开式中x7项的系数为-10,则a_______. x【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

a1解：2

Tr1C5r(x2)5r()r,2(5r)r7r1,故C5a10a2. x5.(ax)5展开式中x2的系数为10, 则实数a的值为__________. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：1 (ax)5展开式中第k项为T5k=C5ka5-kxk,令k=2,x2的系数为C52a3=10,解得a=1. 6.(x18)的展开式中x2的系数为____. 2x【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

1811)展开式的通项公式为Tr1C8rx8r()rC8r()rx82r,令2x2x2182r2r3,故所求x2的系数为C83()37. 2能力型

师生共研

解：7

根据已知条件可得(x7．在二项式(x2－15)的展开式中，含x4的项的系数是(

) xA．－10

B．10

C．－5

D．5 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：B 8．(2x3－110)的展开式中的常数项是(

) 22xA．210

B.1051

C.

D．－105 24【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：B 9．(x－2y)10的展开式中x6y4项的系数是(

) A．840

B．－840

C．210

D．－210 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：A 10．二项式(52＋77)24展开式中的整数项是(

) A．第15项

B．第14项

C．第13项

D．第12项

【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：A 探究型

多维突破

11．(1－x)4(1－x)3的展开式中x2的系数是(

) A．－6

B．－3

C．0

D．3 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：A 12．(x＋ax)(2x－1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( A．－40

B．－20

C．20

D．40 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：D 自助餐

1．二项式(1122)6的展开式的第3项的值是(

) A.332

B.364

C.1564

D.516

【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：选C 二项式(1111152)6的展开式的第3项是C226(2)4(2)264.

2.在二项式(x21x)5的展开式中,含x4的项的系数是（

）

A.5

B.10

C.-5

D.-10 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：选B 3.若(ax1)5的展开式中x3的系数是80,则实数a的值是（

）

A．2

B．22

C．34

D．2 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：D )

4.(x26)的展开式中常数项是（

）

xA．-160

B．-20

C．20

D．160 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：A 5.在1(1x)(1x)2(1x)3(1x)4(1x)5的展开式中,含x2的系数是（

）

A．10

B．15

C．20

D．25 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：C

16.若二项式(3x2)n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为(

) x33A．－27C9

B．27C9

C．－9C94

D．9C94

【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

1解：选B

各项系数之和为(3－1)n＝2n＝512，故n＝9，展开式的通项是Tr＋1＝C9r(3x2)9－r()r＝x3(－1)r×39－r×C9rx18－3r.令18－3r＝0，则r＝6，故展开式的常数项为(－1)6×33×C96＝27C9. 7.(ax-1x)8的展开式中x2的系数为70,则a的值为_______.

【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：1或-1 8．在(x＋1)(2x＋1)…(nx＋1)(n∈N*)的展开式中一次项系数为_______.

【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：1＋2＋3＋…＋n＝n(n1)2＝Cn1. 29．在二项式(x2＋x＋1)(x－1)5的展开式中，含x4项的系数是_______.

【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：∵(x2＋x＋1)(x－1)＝x3－1，∴原式可化为(x3－1)(x－1)4.故展开式中，含x4项的系数为

30(－1)3－C4＝－4－1＝－5. C410.求(x12x)8的展开式中常数项. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：二项展开式的通项Tr1C8r(x)8r(1)rC8r()rx4r，当4－r＝0时，r＝4，所以展开式中22x1

135的常数项为C84()4.

2811．(a＋x)5展开式中x2的系数为10，求实数a的值．

【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：由二项展开式的通项公式可得，T3＝C52a3x2＝10x2，解得a＝1. 解：1 1112．若(x)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，求该展开式中2的系数. xx【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

1126解：56.由Cn可知n＝8，所以(x)8的展开式的通项公式为Tr1C8r(x)8r()rC8rx82r, 所Cnxx以8－2r＝－2，解得r＝5.所以15的系数为C8＝56. 2x