3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义第一课时教学设计

3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

一：学习目标

1.理解并掌握复数代数形式的加减运算法则.（重点）

2.了解复数代数形式的加法、减法的几何意义，掌握不同数集中加减运算法则的联系与区别. 3.在研究复数代数形式的加法、减法的几何意义时，充分利用向量加法、减法的性质.（难点）

二：教学方法：讲练结合

三：教学过程

1．复数的加法与减法

(1)复数的加法与减法运算法则

设a＋bi和c＋di是任意两个复数，我们定义复数的加法、减法如下：(a＋bi)＋(c＋di)＝________________，(a＋bi)－(c＋di)＝______________，即两个复数相加(减)就是实部与实部、虚部与虚部分别________，其结果仍然是一个____．

(2)复数加法的运算律

①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；

②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

2．复数加减法的几何意义

→→→→(1)设复数z1，z2对应的向量为OZ1，OZ2，则复数z1＋z2是以OZ1，OZ2为邻边的平行四边→→→→形的对角线OZ所对应的复数，z1－z2是连接向量OZ1和OZ2的终点并指向OZ1的向量所对应的复数．

(2)复平面内的两点间距离公式d＝|z1－z2|(其中z1，z2是复平面内两点Z1和Z2所对应的复数，d为Z1和Z2之间的距离)．

3.经典例题

典例一：(1)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数z1＋z2所对应的点在实轴上，则实数a＝(

) A．－2

C．－1

(2)计算：①(－2＋3i)＋(5－i)；

②(－1＋2i)＋(1－2i)；

③(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a、b∈R)．

『规律总结』

复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)．

（跟踪训练1）：(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝_____．

(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝________．

(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝______．

典例二：如图，平行四边形OABC的顶点O、A、C对应复数分别为0、3＋2i、－2＋4i，试求

B．2

D．1

→→(1)AO所表示的复数，BC所表示的复数；

→(2)对角线CA所表示的复数；

→→(3)对角线OB所表示的复数及OB的长度．

『规律总结』

利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论

(1)技巧：

①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．

(2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：

①为平行四边形；

②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；

③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；

④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形

〔跟踪练习2〕

(1)若|z1|＝|z2|＝1，且|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|．

→→(2)设向量OZ1及OZ2在复平面内分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1－z2，并在复平面内表示出来．

4.课堂练习：

1．设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的(

) A．充分必要条件

B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的(

) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

3．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝____．

m2＋m4．设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取m＋2值范围．

四：课堂小结

1．复数的加法与减法

(1)复数的加法与减法运算法则

设a＋bi和c＋di是任意两个复数，我们定义复数的加法、减法如下：(a＋bi)＋(c＋di)＝________________，(a＋bi)－(c＋di)＝______________，即两个复数相加(减)就是实部与实部、虚部与虚部分别________，其结果仍然是一个____．

(2)复数加法的运算律

①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；

②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

2．复数加减法的几何意义

→→→→(1)设复数z1，z2对应的向量为OZ1，OZ2，则复数z1＋z2是以OZ1，OZ2为邻边的平行四边→→→→形的对角线OZ所对应的复数，z1－z2是连接向量OZ1和OZ2的终点并指向OZ1的向量所对应的复数．

(2)复平面内的两点间距离公式d＝|z1－z2|(其中z1，z2是复平面内两点Z1和Z2所对应的复数，d为Z1和Z2之间的距离)．

五：作业布置