一 数学归纳法ppt课件教学实录

一

数学归纳法证明不等式

[学习目标] 1.了解数学归纳法的原理. 2.了解数学归纳法的使用范围. 3.会用数学归纳法证明一些简单问题. [知识链接] 1.在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步或只有第二步可以吗？为什么？

提示

不可以；这两个步骤缺一不可，只完成步骤①而缺少步骤②，就作出判断可能得出不正确的结论.因为单靠步骤①，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定.同样，只有步骤②而缺少步骤①时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤②也就没有意义了. 2.利用数学归纳法时，第二步为什么必须利用归纳假设？

提示

第二步实际上是证明一个条件命题：“假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立”，其本质是证明一个递推关系，若不用归纳假设，就是没有证明这种递推关系，所以归纳假设是必须要用的.假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了. [预习导引] 1.由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常称为归纳法. 2.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：

(1)证明当n取初始值n0时命题成立；

(2)假设当n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立. 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确.这种证明方法称为数学归纳法.

要点一

用数学归纳法证明恒等式

例1

用数学归纳法证明：

(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2n－1)·(2n)2－2n(2n＋1)2]＝－n(n＋1)(4n＋3).

证明

(1)当n＝1时，左式＝1·22－2·32＝－14，

右式＝－1·2·7＝－14.等式成立；

(2)假设当n＝k时等式成立，

即(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k－1)·(2k)2－2k(2k＋1)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)，

则当n＝k＋1时，(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k－1)·(2k)2－2k(2k＋1)2]＋[(2k＋1)(2k＋2)2－(2k＋2)(2k＋3)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)－2(k＋1)[(4k2＋12k＋9)－(4k2＋6k＋2)] ＝－k(k＋1)(4k＋3)－2(k＋1)(6k＋7) ＝－(k＋1)·(4k2＋15k＋14) ＝－(k＋1)(k＋2)·(4k＋7) ＝－(k＋1)·[(k＋1)＋1][4(k＋1)＋3]. 说明当n＝k＋1时，等式成立. 由(1)(2)可知等式对任何自然数n都成立. 规律方法

利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述当n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点.并且一定要记住：在证明当n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设. 跟踪演练1

用数学归纳法证明：12－22＋32＋42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1). 证明

(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，

右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立. (2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，

即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)，

则当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2

＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2

＝－2k2－5k－3＝－(k＋1)(2k＋3) ＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]即当n＝k＋1时，等式成立. 由(1)(2)可知，对任何n∈N＋，等式成立. 要点二

用数学归纳法证明整除问题

例2

用数学归纳法证明对于整数n≥0，An＝11n＋2＋122n＋1能被133整除.

证明

(1)当n＝0时，A0＝112＋12＝133能被133整除. (2)假设n＝k时，Ak＝11k＋2＋122k＋1能被133整除. 当n＝k＋1时，Ak＋1＝11k＋3＋122k＋3＝11·11k＋2＋122·122k＋1

＝11·11k＋2＋11·122k＋1＋(122－11)·122k＋1

＝11·(11k＋2＋122k＋1)＋133·122k＋1. ∴n＝k＋1时，命题也成立. 根据(1)(2)，对于任意整数n≥0，命题都成立. 规律方法

利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式.这往往要涉及“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证. 跟踪演练2

已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在自然数m，使得对任意n∈N＋，都能使m整除f(n)，如果存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 解

(1)当n＝1时，f(1)＝36，能被36整除；

(2)假设当n＝k (k≥1)时，f(k)能被36整除，

则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9 ＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1). 由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，

而3k－1－1是偶数. 所以18(3k－1－1)能被36整除. 所以f(k＋1)能被36整除. 由(1)(2)，得f(n)能被36整除，由于f(1)＝36，故能整除f(n)的最大整数是36. 要点三

用数学归纳法证明几何命题

例3

有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分.(n∈N*). 证明

(1)当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1时命题成立. (2)假设n＝k(k≥1)时命题成立.即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分. 则n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成k段弧，每段弧将原

平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k

＝(k＋1)2－(k＋1)＋2. ∴当n＝k＋1时，命题成立. 综合(1)(2)可知，对一切n∈N*.命题成立. 规律方法

对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变化的过程，或者说体会出是怎样变化的，然后再去证明，也可以用“递推”的办法，比如说本题，n＝k＋1时的结果已知道：f(k＋1)＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，用f(k＋1)－f(x)就可得到增加的部分，然后从有限的情况来理解如何增加的，也就好理解了. 1跟踪演练3

求证：n棱柱中过侧棱的对角面的个数是f(n)＝2n(n－3). 证明

(1)当n＝4时，四棱柱有2个对角面，

12×4×(4－3)＝2，命题成立. (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥4)时命题成立，

1即符合条件的棱柱的对角面有f(k)＝2k(k－3)个，现在考虑n＝k＋1的情形，第k＋1条棱Ak＋1Bk＋1与其余和它不相邻的k－2条棱分别增加了1个对角面共k－2个，而面A1B1BkAk变成了对角面，

因此对角面的个数变为

11f(k)＋(k－2)＋1＝2k·(k－3)＋k－1＝2(k2－3k＋2k－2) 11＝2(k－2)(k＋1)＝2(k＋1)[(k＋1)－3]. 1即f(k＋1)＝2(k＋1)[(k＋1)－3]成立. 由(1)(2)可知，命题对n≥4，n∈N＋都成立.

1.用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点：一是准确表述n＝n0时命题的形式，二是准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点. 2.应用数学归纳法时的注意问题：

(1)第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n＝1，有时需验证n＝2，n＝3.

(2)对n＝k＋1时式子的项数以及n＝k与n＝k＋1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障. (3)“假设n＝k时命题成立，利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范. 3.判断利用数学归纳法证明问题是否正确.(1)是要看有无归纳基础，(2)是证明n＝k＋1时是否应用了归纳假设. 4.与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明.其中关键问题是从n＝k＋1时的表达式中分解出n＝k时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式这样才能得结论成立. 课堂检测：

1.对于不等式n2＋n＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立. (2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即k2＋k

所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(

) A.过程全部正确

B.n＝1验得不正确

C.归纳假设不正确

D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

解析

在n＝k＋1时，没用n＝k时的假设，不是数学归纳法.∴从n＝k到n＝k＋1的推理不正确. 答案

D 2.用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N*)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为(

) A.56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1) B.34·34k＋1＋52·52k

C.34k＋1＋52k＋1

D.25(34k＋1＋52k＋1) 解析

34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34·34k＋1＋52·52k＋1

＝(56＋25)·34k＋1＋52·52k＋1＝56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1). 答案

A 3.记凸k边形对角线的条数为f(k)(k≥4)，那么由k到k＋1时，对角线条数增加了________条. 11解析

∵f(k)＝2k(k－3)，f(k＋1)＝2(k＋1)(k－2)，f(k＋1)－f(k)＝k－1. 答案

k－1 4.用数学归纳法证明(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋). 证明

(1)当n＝1时，原式＝(3×1＋1)×7－1＝27，能被9整除，命题成立. (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，(3k＋1)·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1 ＝[21(k＋1)＋7]·7k－1 ＝[(3k＋1)＋(18k＋27)]·7k－1 ＝[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k. ∵[(3k＋1)·7k－1]和9(2k＋3)·7k都能被9整除，

∴[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k能被9整除，

即[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除，

即当n＝k＋1时命题成立.由(1)(2)可知，对任何n∈N＋，命题都成立，即(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋).