3.1.2 复数的几何意义设计意图

3.1.2 复数的几何意义

主讲人

余青云

教学目标：理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学难点: 根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学准备：投影仪，幻灯片。

教学过程：

1. 复数的几何意义（一）：

讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？

（分析复数的代数形式，因为它是由实部和虚部唯一确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标）

结论：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。

复平面：以x轴为实轴，y轴为虚轴建立的平面直角坐标系来表示复数的平面叫复平面。

注意：实轴上的点都表示实数，虚轴上的点除原点外都表示纯虚数。

复数的第一个几何意义：复数与复平面内的点一一对应。

题型一 复数的点的表示 例1

辨析

1.下列命题中的假命题是（

）

A 在复平面内，对应于实数的点都在实轴上。

B 在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上。

C 在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数。

D 在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。

2. “ａ=0”是“复数a+bi是纯虚数”的

（

）

A 必要不充分条件 B 充分不必要条件

C 充要条件 D 不充分不必要条件

3. “a=0”是“复数a+bi所对应的点在虚轴上”的

（ ）

A 必要不充分条件 B 充分不必要条件

C 充要条件 D 不充分不必要条件

例2 若复数z(m2m6)(m2m2)i表示的点在第二象限，求实数m的取值范围。

变式：若复数z(m2m6)(m2m2)i表示的点在直线x-2y+4=0上，求m值

复数的几何意义（二）：

思考：我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的东西还有哪些？

一一对应复数Zabi复数Zabi复平面内的点(a,b)，复平面内的点(a,b)平面向量OZ

一一对应一一对应平面向量OZ，

- 1 -

注意：人们常将复数zabi说成点Z或向量OZ，这里的向量OZ必须以原点O为起点，否则不是一一对应的。规定相等的向量表示同一复数。

练习

： 在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量OB对应的复数为（ ）

A -2-i B -2+i C 1+2i D -1+2i 复数的第二个几何意义：复数与复平面内以原点为起点，复数所对应的点Z为终点的向量一一对应。

复数的模（复数的绝对值）：把向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模，记作z或. 回顾 实数绝对值的几何意义：在数轴上所对应的点到原点的距离。

类比

复数绝对值的几何意义：abi表示在复平面上的点z(a,b)到原点的距离。

向量角度：

复数的模也是复数所对应向量的模。

即

zabiOZabiab2

2题型（二）复数模的求法

例3

求复数的模

1）z15i 2）z234i 3）z355i 4)z41mi(mR) 5)z54a3ai(a0)

题型（三）复数模的应用

知识延伸

Zz1的几何意义：表示复数Z对应的点Z与复数z1对应的点z1间的距离。 zz1ozoz1推导：

例4

设ZC,且满足下列条件，则在复平面内，复数Z对应的点Z的集合是什么图形？

1）Z2 2）zi1

三 小结： 1复数的几何意义是什么？复数与复平面内的点及以原点为起点，点Z为终点的平面向量一一对应。

2

主要概念：（1）复平面 （2）复数的模

3 主要思想：（1）转化思想（2）数形结合思想（3）类比思想

- 2 - z1z

四

巩固与提高：

(m^22m1)zlg(m^23m1)i在复平面内对应点1.

求实数m的取值范围，使复数满足：1）在实轴上 2)在第二象限内

2.作业：课本55页题4、5题.及B组题1，2题。

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