1.3 二项式定理（通用）国家优质课一等奖

《二项式定理》教学设计

忻州市第十中学

张薇

一、教学内容解析

《二项式定理》是人教A版选修2-3第一章第三节的知识内容，它是初中学习的多项式

乘法的继续，同时也是带领我们进入微分学领域大门的一把金钥匙。将本小节的内容安排在计数原理之后学习，一方面是因为二项式定理的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也为学习随机变量及其分布作准备。另外，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，对深化组合数的认识有好处。总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识。

二、学情分析

学生在学习了合情推理、计数原理、排列组合等相关知识后，已经具备了一定的归纳

推理和分析事件个数的能力。但是在数学学习的过程中，大部分学生习惯于重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程。学生对数学的严谨性的把握还不够，研究问题的方法和能力有待提高。本节内容的思维量较大，对学生思维的严谨性、归纳推理等能力都有较高的要求，学生学习起来有一定的难度。

三、教学策略分析

课标中指出：学生的学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探究、动手实践、合作交流是学习数学的重要方式。学生在学习二项式定理时更多地处于机械记忆的阶段，很多学生都没有真正理解二项式定理的学习需求。本节课旨在从解决为什么要学习的角度激发学生学习的主动性和积极性。同时在本节课堂教学中，遵循“以学生为主体，教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，努力使学生有足够的思维活动体验，教师根据学生的思维特征和认知规律，在学生数学学习经验的基础上去设置问题。

四、教学目标设置

1.

知识技能目标

（1）

理解并掌握二项式定理，并能用两个计数原理证明；

（2）

掌握二项展开式的结构特征、通项公式，能区分二项式系数和项的系数；

（3）

能应用二项式定理解决简单问题。

2.

过程与方法目标

学生经历二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导实践”的思想方法，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力。

3.

情感、态度、价值观目标

培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受合作探究的乐趣，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美。

五、教学重点、难点

重点：用两个计数原理分析(ab)2的展开式；用两个计数原理证明二项式定理；掌握二项展开式的通项公式；能应用它解决简单问题。

难点：用两个计数原理分析(ab)2的展开式；用两个计数原理证明二项式定理。

六、教学过程

教学程序

问题

引出问题：要制作一个容积为125m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应当是多少？很容易答出5m。

变式：要制作一个容积为100 m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应当是多少？自然想到是3100，

如何开立方呢？

算法：设3设计

意图

提出问题激发学生探索欲望，并引出课题。

师生

活动

先由教师讲解开高次方的基本思想，然后和学生一起共同计算。

1004x，x表示小数部分。

则100(4x)3，

展开后得到1006448x12xx

，把高次项舍去，23创设情境出来，误差有点大，所以再重复进行一次。

引入3设31004.75y，100(4.75y)，让学生仿照刚才新课

1006448x，从而x0.75

，31004.75。这样算的计算方法进行计算，可得出y0.105955678，从而

31004.644044321。同时让学生用计算器验证，误差很小。此时提醒同学们，若要再提高精确度，只需再重复以上过程即可。

这样就可以对一个数进行开立方的计算。

这时再提出如何计算5100。根据刚才的想法，自然设51002x，x表示小数部分。则100(2x)5

，问5题来了，(2x)

如何展开？很容易想到计算得出，

但对于(ab)

的展开式有没有公式呢？引出二项式定理。

n

探究：(ab)2

、(ab)3的展开式是什么？(ab)4呢？通过归纳总结，能不能得出(ab)n的展开式？

可以很容易得到a、b的变化规律。但是每一项的系数是如何得出的，归纳不出。

重新推导(ab)2

、(ab)3的展开式。

探究1：如何推导(ab)2的展开式？

用组合的思想对展开的过程进行分析。

(ab)2(ab)(ab)计算时就是从两个括号中分别选

出一个字母a或b再相乘。

0a2：每个括号都选a，此时有0个b,所以系数为C2

合作探究1ab：恰有一个括号选b，所有系数为C2

归纳推理

2b2：两个括号选b，所有系数为C2，

所以得到展开式为(ab)C2aC2abC2b

探究2：如何推导(ab)3的展开式？

由学生根据刚才的理解，亲自推导。

探究3：(ab)4的展开式可以如何推出？不用说过程，直接得展开式。

探究4：请试着推导(ab)的展开式。

在前面推出的项的前面加上系数即可。得到二项展开式，这就是二项式定理。

1.

二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克•牛顿于

1664、1665年间提出，牛顿以二项式定理作为基石发知识明出了微积分。二项式定理在组合理论、开高次方、高建构阶等差数列求和，以有差分法中都有广泛的应用。在初形成等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证定理

明恒等式。

2.

分析二项式定理

0n01n11(ab)nCnabCnabknkkCnabn从学生的认知出发，试图从特殊得到一般的结论。

师生共同计算并思考。

让学生说出猜想。

让学生体会利用组合思想得到从特殊到一般的结论，从而将前面的猜想补充完整并给出严谨的证明过程。

由于学生提前预习，对证明思路有一定的了解，但理解可能不是很深刻，师生共同讨论证明思路。

202122简单了解定理的历史及应用，激发学生的求知欲。

n0nCnab，师生共同初步了解展开式，学习通项公式和二项式系数，强调形式上的特点。

nN*knkkTCab

，注意这是第k1项。k1n（1）通项公式：

kCn（2）二项式系数：

，k{0,1,2,3,,n}

对二项式定理的简单应用，同时让学生加深对通项公式的理解。区分二项式系数和项的系数。

通过练习，考察学生的观察力，以及分析问题的能力。

让学生回顾本节要点，观察学生掌握情况

应用二项式定理解决引题，让学生切实的体会数学的应用性。

学生自主完成，老师适当点拨纠正。

精讲练习：求(2x1)6的展开式。

精析强化得到展开式后提问：

巩固

1.

展开式共有几项？

2.

第4项是什么？第5项呢？

3.

第4项的二项式系数是什么？第4项的系数是什么？

4.

展开式中含x

的项是？这是第几项？它的二项式系数是什么？项的系数呢？

4

观察思考

形成新知

分析二项展开式的结构特征：

1.

项数：共有n1

项；

2.

次数（即a、b的次数和）：各项的次数都等于n；

3.

排列方式：

字母a降幂排列，次数由n次逐项减小直到1次，

字母b升幂排列，次数由1次逐项增加直到n次。

学生总结强化已有知识，老师强调二项式系数和项的系数的区别。

学生自己总结，老师适当补充强调即可。

采用讲过的开高次方的方法解题，由学生完成并讲解过程。

课堂

本节课你学习了什么知识？怎么得到定理的？

小结

练习：估算5100（保留3位有效数字）

课后作业

七、板书设计

幻灯片

二项式定理

0n01n11(ab)nCnabCnabknkkCnabn0nCnab， nN*knkkTCab

k1n1.通项公式：

2.二项式系数：

区分项的系数

3.结构特征