二 用数学归纳法证明不等式教学设计第二课时

[核心必知] 贝努利(Bernoulli)不等式

如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n>1＋nx. [问题思考] 在贝努利不等式中，指数n可以取任意实数吗？

提示：可以．但是贝努利不等式的体现形式有所变化．

事实上：当把正整数n改成实数α后，将有以下几种情况出现：

(1)当α是实数，并且满足α>1或者α<0时，

有(1＋x)α≥1＋αx(x>－1)．

(2)当α是实数，并且满足0<α<1时，用(1＋x)α≤1＋αx(x>－1)．

111

已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，

23nn求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N＋)．

2[精讲详析]

本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要注意n的取值范围，

因为n>1，n∈N＋，因此应验证n0＝2时不等式成立．

111252(1)当n＝2时，S22＝1＋＋＋＝>1＋，

234122即n＝2时命题成立．

(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，

111k即S2k＝1＋＋＋…＋k>1＋. 2322则当n＝k＋1时，

11111S2k＋1＝1＋＋＋…＋k＋k＋…＋k＋1

2322＋12k111>1＋＋k＋k＋…＋k＋1

22＋12＋22k＋1k2kk1>1＋＋k. k＝1＋＋＝1＋22＋2222故当n＝k＋1时，命题也成立．

n由(1)、(2)知，对n∈N＋，n≥2，S2n>1＋都成立．

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利用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形，为满足题目的要求，1112k1往往要采用“放缩”等手段，例如在本题中采用了“k＋k＋…＋k＋1>k＝”的2＋12＋222＋2k2

变形．

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1．证明不等式：1＋111＋＋…＋<2n(n∈N＋)．

23n证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥1)时，命题成立，即1＋边＝1＋111＋＋…＋<2k.∵当n＝k＋1时，左23k2kk＋1＋11＝，现在只需证明k＋1k＋11111＋＋…＋＋<2k＋23kk＋12kk＋1＋1k＋1<2k＋1，即证：2kk＋1<2k＋1，两边平方，整理：0<1，显然成立．∴2kk＋1＋11111<2k＋1成立．即1＋＋＋…＋＋<2k＋1成立．∴当n＝k＋123kk＋1k＋1时，不等式成立．由(1)(2)知，对于任何正整数n原不等式都成立.

nn－1

设Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x2，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，试比2较Pn与Qn的大小，并加以证明．

[精讲详析]

本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对n取特值，猜想Pn与Qn的大小关系，然后利用数学归纳法证明．

(1)当n＝1,2时，Pn＝Qn. (2)当n≥3时，(以下再对x进行分类)．

①若x∈(0，＋∞)，显然有Pn>Qn. ②若x＝0，则Pn＝Qn. ③若x∈(－1,0)，则P3－Q3＝x3<0，

所以P3

所以P4

则Pk＋1＝(1＋x)Pk<(1＋x)Qk＝Qk＋xQk

kk－1x2kk－1x3＝1＋kx＋＋x＋kx2＋

22kk＋1kk－13＝1＋(k＋1)x＋x2＋x

22

kk－1＝Qk＋1＋x3

2即当n＝k＋1时，不等式成立．

所以当n≥3，且x∈(－1,0)时，Pn

(1)利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立．

(2)本题除对n的不同取值会有Pn与Qn之间的大小变化，变量x也影响Pn与Qn的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾“n”，而忽视其他变量(参数)的作用．

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2．已知数列{an}，{bn}与函数f(x)，g(x)，x∈R，满足条件：b1＝b，an＝f(bn)＝g(bn＋1)(n∈N＋)．若函数y＝f(x)为R上的增函数，g(x)＝f1(x)，b＝1，f(1)<1，证明：对任意n∈N＋，－an＋1

－－下面用数学归纳法证明an＋1

(1)当n＝1时，由f(x)为增函数，且f(1)<1，得

a1＝f(b1)＝f(1)<1，b2＝f(a1)

a2＝f(b2)

即a2

(2)假设n＝k时结论成立，即ak＋1

进而得f(bk＋2)

根据(1)和(2)可知，对任意的n∈N＋，an＋1

1111a

若不等式＋＋＋…＋>对一切正整数n都成立，求正n＋1n＋2n＋33n＋124整数a的最大值，并证明你的结论．

[精讲详析]

本题考查数学归纳法的应用以及探索型问题的求解方法．解答本题需要根

据n的取值，猜想出a的最大值，然后再利用数学归纳法进行证明．

111a26a当n＝1时，＋＋>，即>，

24241＋11＋23×1＋124∴a<26，而a∈N＋，∴取a＝25. 11125下面用数学归纳法证明＋＋…＋>. n＋1n＋23n＋124(1)n＝1时，已证．

(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，

11125＋＋…＋>，

k＋1k＋23k＋124则当n＝k＋1时，有111111＋＋…＋＋＋＋

k＋1＋1k＋1＋23k＋13k＋23k＋33k＋1＋11111111＝k＋1＋k＋2＋…＋3k＋1＋＋＋－3k＋23k＋33k＋4k＋1

11225>＋3k＋2＋3k＋4－3k＋1. 24∵∴∴6k＋1112＋＝2>，

3k＋23k＋49k＋18k＋83k＋1112＋－>0，

3k＋23k＋43k＋111125＋＋…＋>也成立．

k＋1＋1k＋1＋23k＋1＋12411125由(1)、(2)可知，对一切n∈N＋，都有＋＋…＋>，∴a的最大值为25. n＋1n＋23n＋124——————————————————

利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：先通过观察、判断，猜想出结论，

然后用数学归纳法证明．这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在型或探索型问题时．

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3．对于一切正整数n，先猜出使tn>n2成立的最小的正整数t，然后用数学归纳法证明，lg 3并再证明不等式：n(n＋1)·>lg(1·2·3·…·n)．

4解：猜想当t＝3时，对一切正整数n使3n>n2成立．

下面用数学归纳法进行证明．

当n＝1时，31＝3>1＝12，命题成立．

假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，3k>k2成立，则有3k≥k2＋1. 对n＝k＋1,3k1＝3·3k＝3k＋2·3k

＋>k2＋2(k2＋1)>3k2＋1. ∵(3k2＋1)－(k＋1)2

＝2k2－2k＝2k(k－1)≥0，

∴3k1>(k＋1)2，

＋∴对n＝k＋1，命题成立．

由上知，当t＝3时，

对一切n∈N＋，命题都成立．

再用数学归纳法证明：

lg 3n(n＋1)·>lg(1·2·3·…·n)．

4lg 3lg 3当n＝1时，1·(1＋1)·＝>0＝lg 1，命题成立．

42假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，

lg 3k(k＋1)·>lg(1·2·3·…·k)成立．

4lg 3当n＝k＋1时，(k＋1)(k＋2)·

4lg 3lg 3＝k(k＋1)·＋2(k＋1)·

441＋>lg(1·2·3·…·k)＋lg 3k1

21>lg(1·2·3·…·k)＋lg(k＋1)2

2＝lg[1·2·3·…·k·(k＋1)]．命题成立．

由上可知，对一切正整数n，命题成立．

本课时考点常与数列问题相结合以解答题的形式考查数学归纳法的应用．本题将数列、数学归纳法与直线方程相结合考查，是高考命题的一个新亮点．