1.3 二项式定理（通用）教学内容分析

1.3 二项式定理第二课时

一、教学目标

1．核心素养

通过二项式定理的推导过程的学习，提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的数学思想增强了学生的逻辑推理能力. 2．学习目标

二项式展开式的项数、指数、系数特点及其应用. 3．学习重点

二项式展开式的项数、指数、系数特点及其应用. 4．学习难点

二项式定理和二项式系数性质的应用. 二、教学设计

（一）课前设计

1．预习自测

11.x2的展开式中，常数项为15，则n（

）

xnA．3

B．4

C．5

D．6

解：D 12.(12x)x的展开式中常数项为

．（用数字作答）

x28解：-42 513.若x2的二项展开式中x2的系数为，则a

．

2ax6解：2 （二）课堂设计

1．知识回顾

1．二项式定理及其特例：

0n1n（1）(ab)nCnaCnab1（2）(1x)n1CnxrnrrCnabnnCnb(nN)，

rrCnxxn

rnrr2．二项展开式的通项公式：Tr1Cnab

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3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性

2．问题探究

问题探究一

●活动一

认知杨辉三角

在(ab)n展开式中，当n＝1，2，3，…时，各项的二项式系数是怎样的？

ab1

ab2

ab3

ab4

ab5

ab6

仔细观察，你能发现什么规律？“杨辉三角”为什么会有这些规律呢？

二项式系数表（杨辉三角）

(ab)n展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

●活动二

函数观点认知二项式系数

rr设函数frCn，这个函数的定义域是怎样的？试以n＝6为例作出frCn的函数图象，观察函数图像，你能说出它的哪些性质？

012，Cn，Cn，…，Cnn．Cnr可以看成以r为自变量的函数f(r)

(ab)n展开式的二项式系数是Cn定义域是{0,1,2,,n}，例当n6时，其图象是7个孤立的点（如图）

mnm（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵Cn）．

Cn直线rn是图象的对称轴．

2

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n(n1)(n2)(nk1)k1nk1，

Cnk!knk1nk1n1k1∴Cnk相对于Cn的增减情况由决定，，

1kkk2n1当k时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最2k（2）增减性与最大值．∵Cn大值；

当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项C●活动三

认知二项式系数

各二项式系数的和等于多少？为什么？

1∵(1x)n1CnxrrCnxn2nn12n，Cn12n取得最大值．

xn，

rCnn

Cn012令x1，则2nCnCnCn●活动四

二项式系数、系数的应用

1. 二项式系数的性质

例1（1）多项式x10＝a0＋a1 (x－1)＋a2·(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为(

) A．10

B．45

C．－9

D．－45 【知识点：二项式系数的性质】

1210解：B x10＝[1＋(x－1)]10＝1＋C10(x－1)＋C10(x－1)2＋…＋C10(x－1)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－821)2＋…＋a10(x－1)10对任意实数x都成立，∴a8＝C10＝C10＝45. (2)二项式(1＋sinx)6的展开式中二项式系数最大的一项的值为________．

【知识点：二项式系数的性质】

详解：5.

65，则x在[0,2π]内的值为25513或.由题意得T4＝C6·sin3x＝20sin3x＝，∴sinx＝，∵x∈

[0,2π]，∴x＝或62266(3)若(x2165)的二项展开式中，x3的系数为，则二项式系数最大的项为________．

ax2【知识点：二项式系数的性质】

解：2. 3故二项式系数最大的项为T4＝C6(x2)3(53153－3x.∵Tr1C6r(x2)6r()rC6rarx123r，令12－3r＝3，得r＝3，∴C6a＝，解得a＝2ax21353)＝x. 2x2

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点拨：二项式系数、二项展开式中的项的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个击破. 2.用赋值法求二项式各项系数的和

例2在(2x3y)10的展开式中，求：

①二项式系数的和; ②各项系数的和; ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. 【知识点：用赋值法求二项式各项系数的和】

r分析:因为二项式系数特指组合数Cn,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式2x3y中的系数无关. 详解：设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10(*), 各项系数和即为a0a1a10,奇数项系数和为a0a2a10,偶数项系数和为a1a3a5a9,x的奇次项系数和为a1a3a5a9,x的偶次项系数和a0a2a4a10. 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. 0110①二项式系数和为C10C10C10210. ②令xy1,各项系数和为(23)10(1)101. 0210③奇数项的二项式系数和为C10C10C1029, 139偶数项的二项式系数和为C10C10C1029. ④设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10, 令xy1,得到a0a1a2a101…(1),

令x1,y1(或x1,y1)得a0a1a2a3a10510…(2)

(1)+(2)得2(a0a2a10)1510, ∴奇数项的系数和为1510; 2

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(1)-(2)得2(a1a3a9)1510,∴偶数项的系数和为15. 2101510⑤x的奇次项系数和为a1a3a5a9; 21510. x的偶次项系数和为a0a2a4a102点拨：要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一. 3.综合运用

例3(1）设a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，则a＝(

) A．0

B．B．1

B．C．11

B．D．12 【知识点：二项式定理的应用】

012解：A 本题考查二项展开式的应用．512012＝(52－1)2012＝C2012522012－C2012522011＋C201252201020112012＋…＋C2012×52×(－1)2011＋C2012×(－1) 2012，若想被13整除需加12，∴a＝12. （2）在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，含x4项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的(

) A．第11项

B．第13项

C．第18项

D．第20项

【知识点：二项式定理，数列的应用】

444123解：D. (1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，含x4项的系数为C5＝C5＝5C6C7C6C7＋15＋35＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，令an＝55，即3n－5＝55，n＝20，故选D. （3）将(11n111－4*)(n∈N)的展开式中x的系数记为a，则…________. nx2a2a3a2014【知识点：二项式定理，不等式的应用】

解：20131r(2)r(1)rx2r，令－2r＝－4，∴r＝2，

.第r＋1项Tr1Cn1007x2∴an＝(－1)2Cn＝n(n1),

2111222……a2a3a201412232013201411111120132[(1)()…]2(1).2232013201420141007

点拨：涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，需要运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个击破，同时注意二项式定理和不等式、数列的综合应用.

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3．课堂总结

【知识梳理】

二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个击破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用. 【重难点突破】

涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个击破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用. 4．随堂检测

1.2x5y的展开式中二项式系数的和为

，各项系数的和为

，二项式系数最大的项为第

项. 【知识点：二项式定理的应用】

解：11 12.(x)n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为

．

x【知识点：二项式定理的应用】

13解：.展开式中只有第六项的二项式系数最大，n10，T4C10(x)7()3120x. x0123.Cn+2Cn+4Cn+1232nCnn729，则CnCnCnnCn（

）

20A．63

B.64

C.31

D.32

【知识点：二项式定理的应用】

解：A （三）课后作业

基础型

自主突破

1．x1x1展开式中x的系数为

，各项系数之和为

．

454【知识点：二项式定理的应用】

解：45, 0. 1232．多项式f(x)Cn(x1)Cn(x1)2Cn(x1)3nCn(x1)n（n6）的展开式中，x6的系数

为

. 【知识点：二项式定理的应用】

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解：0．提示：fxxn1n6

3．若二项式(3x21n)（nN）的展开式中含有常数项，则n的最小值为（

）

32xA.4

B.5

C.6

D.8 【知识点：二项式定理的应用】

解：B. 4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应（

）

A.低于5％

B.在5％～6％之间

C.在6％～8％之间

D.在8％以上

【知识点：二项式定理的应用】

解：C. 5．在(1x)n的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则(1x2)n等于（

）

A.0

B.pq

C.p2q2

D.p2q2

【知识点：二项式定理的应用】

解：D. 6．若(1－2x)2009＝a0＋a1x＋…＋a2009x2009(x∈R)，求【知识点：二项式定理的应用】

解：令x＝0，则a0＝1，令x＝∴aa1a22…2009＝－1. 2222009aa1a22…2009的值. 2222009a2009aa1…，则a012＝0，

220092222能力型

师生共研

7.(x3nn)的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，求(1－x)的展开3x式中系数最小的项的系数．

【知识点：二项式定理的应用】

解：展开式中，各项系数的和为4n，各项二项式系数的和为2n，由已知得2n＝64，所以n＝6，3(1－x)6的展开式中，第四项的系数最小，为－C6＝－20. 8.若(3x3n)的展开式中含有非零常数项，求正整数n的最小值. 32x【知识点：二项式定理的应用】

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解：Tr1C(3x)rnnrr3r1rn4rnr3

(3)Cn(3)(3)x2x244令nr＝0，得nr.∴n取最小值为4. 3319．令an为(1＋x)n＋1的展开式中含xn－1项的系数，求数列{}的前n项和. an【知识点：二项式定理的应用】

n12rraCn解：∵Tr1Cn1Cn11(x)，∴nn(n1)12，，

2ann(n1)∴i1n11111112n2(1…)2(1).

an223nn1n1n154)的展开式中x3的系数相等，求cosθ. 410．已知(xcosθ＋1)5的展开式中x2的系数与(x＋【知识点：二项式定理的应用】

2解：(xcosθ＋1)5＝(1＋xcosθ)5，展开式中x2的系数为C5cos2θ. (x＋54553)＝(＋x)4，展开式中x3的系数为C4，

4442由题意可知C5cos2θ＝531C4，∴cos2θ＝，

42∴cosθ＝2. 2探究型

多维突破

11．若(cosφ＋x)5的展开式中x3的系数为2，则sin(2φ＋【知识点：二项式定理的应用】

3解：

5)＝________. 212.已知(12x)7a0a1xa2x2（1）a1a2a7x7，求：

a7；

（2）a1a3a5a7；

（3）|a0||a1||a7|. 【知识点：二项式定理的应用】

解：（1）当x1时，(12x)7(12)71，展开式右边为

a0a1a2∴a0a1a2a7

a71，

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当x0时，a01，∴a1a2（2）令x1，

a0a1a2a7112，

a71

①

令x1，a0a1a2a3a4a5a6a737

②

137①②

得：2(a1a3a5a7)13，∴a1a3a5a7. 27（3）由展开式知：a1,a3,a5,a7均为负，a0,a2,a4,a8均为正，

∴由（2）中①+②

得：2(a0a2a4a6)137，

137∴

a0a2a4a6，

2∴|a0||a1||a7|a0a1a2a3a4a5a6a7

(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)37. 自助餐

1.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是(

) A.74

B.121

C.-74

D.-121 【知识点：二项式定理的应用】

(1x)5[1(1x)4](1x)5(1x)9解: D

(1-x)+(1-x)+(1-x)+(1-x)＝,(1-x)5中x4的系数为1(1x)x5678C545,-(1-x)9中x4的系数为C94126,-126+5＝-121. 2.在(2x12n1)的展开式中,x2的系数是224,则2的系数是(

) 2xxA.14

B.28

C.56

D.112 【知识点：二项式定理的应用】

r2nr解:A Tr1C2(n(2x)1rn1r2n2rn1,令2n-2r＝2,r＝n-1,则22C24224,∴C2)22n2C2n56. nx2xC83214x2. ∴n＝4.再令8-2r＝-2,∴r＝5.∴T64x3.在(x+y)n的展开式中,若第七项系数最大,则n的值可能等于(

) A.13,14

B.14,15

C.12,13

D.11,12,13 【知识点：二项式定理的应用】

解:D

分三种情况:(1)若仅T7系数最大,则共有13项,n＝12;(2)若T7与T6系数相等且最大,则共有

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12项,n＝11;(3)若T7与T8系数相等且最大,则共有14项,n＝13,所以n的值可能等于11,12,13. 4．在(x＋1)(2x＋1)(nx＋1)(n∈N*)的展开式中一次项系数为(

) 1322n1Cn1

A．Cn

B．Cn

C．

D．C1n2【知识点：二项式定理的应用】

解：B 1＋2＋3＋…＋n＝n(n1)2＝Cn1. 25．若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x＋y＝1，xy<0，则x的取值范围是(

) 144A.(,)

B.[,)

C.(,]

D.(1,)

555【知识点：二项式定理的应用】

解：D 二项式(x＋y)9的展开式的通项是Tr＋1＝C9r·x9－r·yr依题意有

18C9xy≤C92x7y2，x8(1x)4x7(1x)2≤0，由此得

xy1,x(1x)＜0，xy＜0.由此解得x>1，即x的取值范围是(1，＋∞)．

6．设a∈Z，且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，则a＝(

) A．0

B．1

C．11

D．12 【知识点：二项式定理的应用】

解：D 512 012＋a＝(13×4－1)2 012＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512 012＋a能被13整除．

17.在(x4)10的展开式中常数项是____________.(用数字作答) x【知识点：二项式定理的应用】

1rr405r解:45

Tr1C10T要求常数项,即40-5r＝0,可得r＝8,代入通项公式可得(x4)10r()rC10xx82T81C10C1045. 8.若(x+1)n＝xn+…+ax3+bx2+…+1(n∈N*),且a∶b＝3∶1,那么n＝_____________. 【知识点：二项式定理的应用】

解:11

aCn3nC,bC3nn2n3Cn3n(n1)(n2)2C

,又a∶b＝3∶1,∴2.∴3,解得n＝11. Cn16n(n1)2n9.在(1＋x)3＋(1＋x)3＋(1＋3x)3的展开式中，x的系数为_______(用数字作答)．

【知识点：二项式定理的应用】

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323解：7 C13＋C3＋C3＝2－1＝7. 10．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，求a3. 【知识点：二项式定理的应用】

解：不妨设1＋x＝t，则x＝t－1，因此有(t－1)5＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则a3＝C52(－1)2＝10. 11.若(1-2x)2004＝a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004(x∈R),求(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2004).(用数字作答) 【知识点：二项式定理的应用】

解:2004令x＝0,得a0＝1;令x＝1,得1＝a0+a1+a2+…+a2004,故(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2004)＝2 003a0+a0+a1+a2+…+a2004＝2 004. 12.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,求k. 【知识点：二项式定理的应用】

解:(1+kx2)6按二项式定理展开的通项为Tr1C6r(kx2)rC6rkrx2r,∴x8的系数为C64k415k4.∴15k4＜120,也即k4＜8.而k是正整数,故k只能取1.

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