[图形演示]圆的渐开线优质课教案内容

课

题

教材版本

课堂类型

圆的渐开线的参数方程

人教数学B版选修4-4

新授课

设计者

年级

课时

张红

高二

1 学情

分析

本节课是在学生已经掌握了直线、圆的参数方程，对圆锥曲线的参数方程有了初步的了解的基础之上进行的一堂课。学生对参数方程的建立有了初步的了解和认识，但是并不是很熟练，尤其是对平面直角坐标系中依据动点坐标与参数的关系的建立坐标等式的能力不足的情况下进行的。所以，本节课需要教师从中做好引导。但学生对平面向量的基本数学知识与平面直角坐标系建立的依据在必修教材的解析几何部分还是有一定的基础。所以对本节的学习旨在让学生能够多参与多思考,培养他们的分析解决问题和解决问题的能力,提高应用所学知识的能力。

1.通过课堂活动、动手操作，感知圆的渐开线的存在，能说出渐开线的几何等量关系. 2.通过活动问题的转化、利用数学向量和坐标的知识建立渐开线的参数方程，能说出其中参数的几何意义. 3.掌握圆的渐开线的参数方程，并能应用圆的渐开线的参数方程解决简单问题. 4.通过实例介绍，了解数学在工业设计中的应用，增强数学的应用意识．

渐开线的生成过程与如何选择合理参数建立曲线的参数方程．

教学目标

教学重点

教学难点

根据圆的渐开线中动点的几何等量关系求渐开线的参数方程. 本节课按照应用回顾——问题提出——探究问题——巩固强化的顺序设计学案，圆的渐开线的轨迹较为抽象，通过设计动手实践过程使学生体会渐开线的轨迹的生成过程，在此过程中探究其轨迹上的点所满足的几何条件，为求渐开线的参数方程打下良好基础。向量法推导圆的渐开线的参数方程学生首次接触，为了突破难点将问题进行分解，逐步引导学生进行推导，在提出问题、解决问题的过程中，提升学生利用数学知识分析问题、解决问题的能力，提升数学素养.设计练习巩固所学，同时体验参数方程在求解的运算量上的优越性。最后再回归到实际生活中，利用本节所学解释齿形的设计原理，

提高综合利用知识解决问题的能力.

讲练结合

启发、诱导发现教学

多媒体辅助教学

教学设计思路

教学方法

教

学

过

程

设

计

教学步骤

教学内容

师生活动

设计意图

信息技

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术应用

（一）

创设情境、

激发兴趣

（二）小组合作，初步探索，直观感知

一．圆的渐开线的生成过程及定义

同学们，当我们到工厂参观时会看到很多的机械加工设备，细心的同学还会注意到很多机械零件的轮廓是一些特殊的曲线。屏幕上所展现的这些齿轮的齿形应用的就是圆的渐开线。从中抽象出一个齿形介绍从齿顶到齿根间的轮廓的设计应用的就是圆的渐开线。

课堂活动

下面请同学们做以下活动：把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线.思考：这条曲线的形状怎样？

活动材料：学生根据教材自制画圆的渐开线教具

应用PPT动画展现应用圆的渐开线设计的齿轮在生产生活中的应用。抽象出一个齿形，师介绍齿根与齿顶间的轮廓线便是应用圆的渐开线设计的。这样学生们对圆的渐开线的形状有个初步的了解。

板书课题

师给出画圆的渐开线的具体的操作过程、小组分工

通过实例让学生感受渐开线的存在，了解圆的渐开线在生产生活中的广泛应用，从而增加学生学习兴趣.

提高学生的动手能力。通过近距离的操作，也可以帮助学生更直观的抓住渐开线的性质特征。

应用PPT动画展现应用圆的渐开线设计的齿轮在生产生活中的应用。

展现一个齿形的剖面图

PPT展示活动的具体步骤与要求

第2页

（三）合作探究、构建新知

层层深入，掌握新知

各小组同学互相配合，分工明确，并探究笔尖

小组分工：一名同学将所满足的几何圆盘固定在练习纸上；一条件。

名同学将细绳完全绕在圆

盘上，笔尖固定圆盘根部，

慢慢拉开细绳，并始终保选择一组到黑持细绳与卷圆盘相切.其板上演示活动余同学认真观察，记录活过程。

动过程，并不断提醒组员

始终保持细绳与圆盘相切

并思考在整个操作过程中几何画板展示

笔尖满足哪些等量关系。

完成之后画上笔尖的轨迹

与圆盘。

活动结束后学生，利教师提出问题，用几何画板展示圆的渐开根据学生回答线的几何过程。

问题的情况进

行引导，学生认二．圆的渐开线的参数方真思考、探究，程

体会遇到困难， 方程是研究曲线性质寻求办法解决的一个重要途径，我们已困难的过程。

学过极坐标系下的极坐标

方程，直角坐标系下的普学生探究并试通方程和参数方程，我们着推导圆的渐能否求出圆的渐开线的普开线的参数方通方程？

程。

问题设计：

1.求曲线方程的步骤有哪些？教师巡视，请推2.如何建立平面直角坐标系？导出渐开线参3.能否直接列出点M的坐标数方程的学生x,y的关系？到黑板上展示、4.哪些几何量可以做为参数？讲解。

5.动点M满足哪些几何条件？

学生探究

第3页

培养学生的合作意识

通过动画感知圆的渐开线的生成过程，并使学生意识到，利用现代信息技术画出来的图更加精准精确，所以我们要努力学习尽可能的利用现代信息技术代替手工操作，提高精准度、提高效率。

学生自己推导圆的渐开线的方程是非常困难的，通过5个问题的设置可以帮助学生捋顺思路，突破难点，体验分析问题过程，体会解决问题带来的成功的喜悦。

学生是课堂的主体，学生能解决的问题，教师绝不包办替代，坚持下去，学生定会对数学产生浓厚的兴趣，爱上数学。

利用几何画板精准展示圆的渐开线的生成过程及笔尖所形成的的轨迹.

PPT展示5个问题

PPT展示探究问题

巩固训练、掌握新知

规范展示、精彩点评

（四）回归生活、加深理解

深入探究、加深理解

1.圆的渐开线的参数方程中

学生练习，体验的参数t的几何意义是什么？

写出圆的渐开2.圆的渐开线的参数方程是线参数方程的否可以转化为普通方程？步骤。

.基础巩固

（1）

小组抢答，课堂（2）

加分

（3）

黑板展示、学生

点评

教师及时评价

例题巩固

例1.

例2.

例3

动画展示

教师引导学生

应用本节课所展示齿轮的工作原理，引学知识，解释齿导学生应用本节所学进行轮齿形的工作解释

原理

第4页

训练题目比较简单，目的是让学生了解方程特征，并能简单应用。

活跃课堂、调动学习积极性

题目的设置在圆的渐开线参数方程的简单应用的基础上，又进行了适度扩展。

在展示过程中培养学生的规范解题能力。

学生在讲解的过程中既加深了学生对此类题目的运算,又培养了学生的创新思维能力,同时提高学生的归纳概括能力

让学生进一步认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学.培养学生用数学的思想、方法分析生活中的现象、解决生活中的问题的意识。

PPT展示题目

动画展示

（五）总结归纳、加深理解

巩固提高、拓展延伸

这节课我们学到了什么？

（1）

（2）

（3）

1.基础巩固

圆的渐开线的参数方程-训练案

2.能力拓展

利用向量法推导摆线的参数方程

试求圆的渐开线的极坐标方程

学生自己回忆、归纳、小结

通过课堂总结和课后作业强化本节课的主要内容，

并使学生熟练对知识的运用和掌握。利用课后的阅读材料，完成学生对摆线的认识和对摆线的应用及摆线参数方程的推导，增加学生对知识的理解和认识。

PPT展示

板书设计

圆的渐开线的参数方程

1.定义： 推导过程： 小组得分情况

2.圆的渐开线的参数方程

学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，通过合理自然的创设情境、发现问题、提出问题与解决问题，获得基本数学思想、基本数学活动经验，进而，相应的数学核心素养得以提升。在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点并提高教学效率。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权，在教学思想上既注重知识形成过程的教学，还特别突出学生探究能力的训练，引导学生发现数学的美，体验求知的乐趣。

教学反思

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