1.1.2 平面上的伸缩变换优质课一等奖

课题：1.1.2

平面上的伸缩变换

课型

教学目标

新授课

知识与技能

授课教师：孙彦敏

授课班级：二年三班

1.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；

2.能够应用平面上伸缩变换的坐标表达式解决有关问题。

过程与方法

让学生经历由具体到一般，从直观到抽象的思维过程，培养学生严谨的思维品质。

情感态度、价值观

在合作交流中学习，培养学生沟通交流能力及自主探究的意识。

教学重点

理解平面直角坐标系中的伸缩变换。

教学难点

掌握坐标法的解题步骤与应用，总结体会伸缩变换公式的应用。通过典型习题的讲解、剖析，及设置相关问题引导学生思考来突破难点。

学情分析

本节课之前，学生们已经学习了正弦函数的图像，为本节课的学习打好了基础

教学方式

典例剖析，讲练结合，交流讨论

教学手段

多媒体PPT辅助教学

教学过程：

一．复习引入

在三角函数图象的学习中，我们研究过下面一些问题：

1.设点P（x,y）为正弦曲线ysinx上的任意一点，如果保持横坐标不变，把纵坐标变为原来3倍，点P变为平面上新的点Q（X,Y）。

（1）找出点P（x,y）与点Q（X,Y）坐标间的关系；

（2）求正弦曲线ysinx经过坐标变换公式得到新的曲线方程。

1

2.设点P（x,y）为正弦曲线ysinx上的任意一点，如果纵坐标不变，把横坐标变为原来1，点P变为平面上新的点Q（X,Y）。

2（1）找出点P（x,y）与点Q（X,Y）坐标间的关系；

（2）求正弦曲线ysinx经过坐标变换公式得到新的曲线方程。

3.设点P（x,y）为正弦曲线ysinx上的任意一点，如果保持横坐标不变，把纵坐标变为原来3倍，再保持横坐标不变，把横坐标变为原来。

Q（X,Y）（1）找出点P（x,y）与点Q（X,Y）坐标间的关系；

（2）求正弦曲线ysinx经过坐标变换公式得到新的曲线方程. 二．新课讲解

引导, 观察启发

与ysinx的图象作比较，结论：

（1）设P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，保持纵坐标y不变，将横坐标x缩1，点P变为平面上新的点211Xx,为原来的倍，得到Q（X,Y）,那么2 ①

2Yy.我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换。

（2）设P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸

2

长为原来的3倍，得到Q（X,Y）,那么Xx, ②

Y3y.我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。

提出问题：怎样由正弦曲线得到曲线y3sin2x？（它是由①②两种变换合成的）

平面直角坐标系中的任意一点P（x,y）），经过上述变换后变为点Q（X,Y）,那么1Xx,2 ③,我们把③式叫做平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。

Y3y.定义：设P（x,y）是平面直角坐标系中任意一点，在变换:Xax,(a0) ④Yby(b0).的作用下，点P（x,y）对应到点Q（X,Y），称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

三、典例剖析

通过以上的对比，让学生根据以往所学知识，从而不难发现1中变换实质上是压缩变换，2中实质是伸长变换，3是1和2的合成。让学生通过教师的引导，从而发现其中变换，归纳总结出伸缩变换的定义以及需要注意的地方。

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有一个圆形的弹性物体，圆的方程为xya(a0)，设物体受均匀的平行于y轴的外力F的压缩，而保持x轴上的直径不动。P（x,y）为圆上一点，在压缩后变到2221xX,Xx,。由于力F平行于y轴，，整理得，代M（X,Y）2Yy(0k1)kYky(0k1)Y2X2Y22入圆方程xya(a0)得X2a(a0)，即21(a0)，这是椭2ka(ak)2222圆的方程，这表明，圆被压缩后变为椭圆。

通过将圆沿着竖直方向压缩可以变成椭圆，让学生直观感受压缩引起的变化，然后再通过具体的解析方法从而精准地求出变化前后的方程，以及相对应的变换公式。

四、例题讲解

例1：

1Xx,21.在平面直角坐标系中，伸缩变换的坐标表达式为

，求点P（2,3）

1Yy.3在此伸缩变换。

1Xx,2222.在平面直角坐标系中，伸缩变换的坐标表达式为，求圆xy1在此伸缩变Y1y.3换下的方程。

例2：

X2x,1.

在平面直角坐标系中，伸缩变换的坐标表达式为

，点P在此伸缩变Y3y.换得到的点Q（1,2），求点P的坐标。

X2x,2.

在平面直角坐标系中，伸缩变换的坐标表达式为

，曲线C在此伸缩Y3y.X2Y21，求曲线C的方程。

变换下变为49例3：

1.

在平面直角坐标系中，点P（2,3）经过伸缩变换得到Q（1,2），求伸缩变换的

4

坐标表达式。

2.

在平面直角坐标系中，曲线C：x2y24，经过伸缩变换得到曲线C’：X2Y21，

求伸缩变换的坐标表达式。

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通过学生先独立思考完成例题，对于解题过程中出现的问题进行讲解，指出学生存在的错误，体会新知的应用，引导学生用正确的方法，学以致用。培养学生独立解题认真思考的学习习惯，以及严谨的数学思维品质。

五、课堂小结：

引导学生总结与伸缩变换相关问题的处理方法：

1.已知旧坐标，旧方程，通过伸缩变换公式求新坐标新方程；

2.已知新坐标，新方程，通过伸缩变换公式求旧坐标旧方程；

3.已知旧坐标和新坐标，旧方程和新方程，求变换公式。

六、课后作业：

书上第五页练习题

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