[图形演示]柱坐标系第一课时教学实录

柱坐标系与球坐标系简介

一、教学目的：

知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法

能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：

教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系。

教学难点：利用它们进行简单的数学应用。

三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、学情：这个班是我校普通班，他们虽然基础差，但充满了对知识的渴望。

五、教学过程：

学生回顾

在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法

极坐标的意义以及平面上极坐标与直角坐标的互化公式

柱坐标系新课

1．柱坐标系的概念

建立空间直角坐标系O -xyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R.柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的．

2．直角坐标与柱坐标的转化

x＝ρcos θ，空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为y＝ρsin θ，z＝z.考点1

将直角坐标系化为柱坐标系

已知空间点P的直角坐标为(43，4,3)，求它的柱坐标．

[精讲详析]

本题主要考查将直角坐标化为柱坐标的方法，解答此题需要明确各坐标的意义，然后将其代入相应公式即可解决．

x＝ρcos θ，由公式y＝ρsin θ，z＝z，

得ρ2＝x2＋y2，z＝3. ∴ρ2＝(43)2＋(4)2＝48＋16＝64，∴ρ＝8. y43tan θ＝＝＝，

x433π又x>0，y>0，点在第一象限．∴θ＝. 6π8，，3. ∴点P的柱坐标为6

已知点的直角坐标，确定它的柱坐标的关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出tan θ，还要根据点P所在的象限确定θ的值(θ的范围是[0,2π))．

1．已知空间点M的直角坐标为(－1，－3，3)，求它的柱坐标．

x＝ρcos θ，解：由公式y＝ρsin θ，z＝z，

－1＝ρcos θ，得－3＝ρsin θ，z＝3.

∴ρ2＝(－1)2＋(－3)2＝4. ∴ρ＝2. 13∴cos θ＝－，sin θ＝－. 22又∵θ∈[0,2π)，

4∴θ＝π.

342，π，3. 即M的柱坐标为3考点2

将柱坐标化为直角坐标

π8，，4，求它的直角坐标．

已知点P的柱坐标为6[精讲详析]

本题考查柱坐标与直角坐标的转化，解答本题只要将已知点的柱坐标代入相应的公式即可．

ππ8，，4，∴ρ＝8，θ＝. ∵P点的柱坐标为66

x＝ρcos θ，由公式y＝ρsin θ，z＝z，

π得y＝8sin ，6z＝4，πx＝8cos ，6

x＝43，即y＝4，z＝4.

∴P点的直角坐标为(43，4,4)．

x＝ρcos θ，已知柱坐标，求直角坐标直接利用变换公式y＝ρsin θ，z＝z

π2，，1，求M关于原点O对称的点的柱坐标．

2．已知点M的柱坐标为4x＝2cos ＝1，4ππ2，，1的直角坐标为4y＝2sin ＝1，4z＝1，π

即可．

解：M

∴M关于原点O的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)，ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，

－1∴ρ＝2.tan θ＝＝1，

－1又x＜0，y＜0. 5π∴θ＝. 45π2，，－1. ∴M关于原点O对称点的柱坐标为4[问题思考] 1．柱坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？

提示：柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标．

2．在极坐标中，方程ρ＝ρ0(ρ0为正常数)表示圆心在极点，半径为ρ0的圆，方程θ＝θ0(θ0为常数)表示与极轴成θ0角的射线，那么，在柱坐标系中，上述方程又分别表示什么图形？

提示：在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0表示中心轴为z轴，底半径为ρ0的圆柱面，它是上述圆周沿z轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx坐标面成θ0角的半平面

[考题印证]

如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A1(4,0，5)，C16，

π，5，则此长方体外接球的体积为________．

2[命题立意]

本题主要考查柱坐标与直角坐标的转化以及长方体的外接球的体积的求法．

π6，，5，可知：OA＝4，OC＝6，[解析]

由长方体的两个顶点坐标为A1(4,0,5)，C12OO1＝5，

则对角线长为42＋52＋62＝77. 长方体外接球的半径为77，

247737777∴球的体积为·π·＝π.

326[答案]

7777π

6球坐标新课引入

情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度，这就是用的球坐标系

3．球坐标系

建立空间直角坐标系O-xyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π. 在测量实践中，球坐标中的角θ称为被测点P(r，φ，θ)的方位角，90°－φ称为高低角．

4．空间直角坐标与球坐标的转化

x＝rsin φ·cos θ，sin θ，空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为y＝rsin φ·z＝rcos φ.[问题思考] 1．在球坐标系中，方程r＝r0(r0为正常数)表示什么图形？

提示：在空间的球坐标系中，方程r＝r0(r0为正常数)表示球心在原点，半径为r0的球面．

2．在球坐标系中，方程θ＝θ0(0≤θ0<2π)表示什么图形？

提示：在球坐标系中，方程θ＝θ0(0≤θ<2π)表示过z轴的半平面，它与zOx坐标面的夹

角为θ0. 3．在球坐标系中，方程φ＝φ0(0≤φ0≤π)表示什么图形？

提示：在球坐标系中，方程φ＝φ0(0≤φ0≤π)表示顶点在原点，半顶ππ角为φ0的圆锥面，它的中心轴是z轴，φ0＜时它在上半空间，φ0＞时22π它在下半空间，φ0＝时它是xOy平面(如图所示)．

2

5π4π5，，，求它的直角坐标．

已知点M的球坐标为63[精讲详析]

本题考查球坐标与直角坐标的变换关系，解答本题需要先搞清球坐标5，5π4π5π4π，中各个坐标的意义，然后代入相应的公式求解即可．∵M的球坐标为5，，，∴6363x＝rsin φcos θ，5π4πr＝5，φ＝，θ＝.由变换公式y＝rsin φsin θ，63z＝rcos φ，

5π4π53得y＝5sin 6sin 3＝－4，53＝－.z＝5cos 5π62x＝5sin 5π4π5cos ＝－，634

55353故它的直角坐标为－，－. ，－424

已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求解，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.

3ππ4，，，求它的直角坐标．

1．已知点P的球坐标为44解：由变换公式得：

x＝rsin φcos θ＝4sin y＝rsin φsin θ＝4sin z＝rcos φ＝4cos 3ππcos ＝2. 443ππsin ＝2. 443π＝－22. 4∴它的直角坐标为(2,2，－22)

设点M的直角坐标为(1,1，2)，求它的球坐标．

[精讲详析]

本题考查直角坐标与球坐标的变换关系，解答本题只需将已知条件代入变换公式求解即可，但应注意θ与φ的取值范围．

由坐标变换公式，可得

r＝x2＋y2＋z2＝12＋12＋22＝2. 由rcos φ＝z＝2，

z2π得cos φ＝＝，φ＝. r24yπ又tan θ＝＝1，θ＝(x>0，y>0)，

x4ππ2，，. 从而知M点的球坐标为44

由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M的球坐标为(r，θ，φ)，再利用变换公式x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ

求出r、θ、φ，

yz代入点的球坐标即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝，cos φ＝.特别注意由直角xr坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．

2．设点M的直角坐标为解：由变换公式得

r＝x2＋y2＋z2

＝

262＋＋＝1，

16164223π得cos φ＝－，φ＝. 224262，求它的球坐标．

，，－424由rcos φ＝z＝－y又tan θ＝＝3(x>0，y>0)，

xπ得θ＝. 33ππ1，，. ∴M的球坐标为43六、小

结：本节课学习了以下内容：

1．球坐标系的作用与规则；

2．柱坐标系的作用与规则。

七、课后作业：导学案17页

八、课后反思：本节内容与平面直角坐标和极坐标结合起来，学生容易理解。但以后少用，可能会遗忘很快。需要定期调回学生的记忆。