3.三个正数的算术-几何平均不等式优秀教学设计

3．三个正数的算术—几何平均不等式

1．定理3 a＋b＋c3如果a，b，c∈R＋，那么≥abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，用文字语3言可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．

a＋b＋c3(1)不等式≥abc成立的条件是：a，b，c均为正数，而等号成立的条件是：当3且仅当a＝b＝c. a＋b＋c3(2)定理3可变形为：①abc≤()；②a3＋b3＋c3≥3abc. 3(3)三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”．

2．定理3的推广

a1＋a2＋…＋an对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即nn≥a1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．

对应学生用书P8

[例1]

已知a，b，c∈R＋，求证：

b＋c－ac＋a－ba＋b－c＋＋≥3. abc3[思路点拨]

欲证不等式的右边为常数3，联想到不等式a＋b＋c≥3abc(a，b，c∈R＋用平均不等式证明不等式

)，故将所证不等式的左边进行恰当的变形．

[证明]

b＋c－ac＋a－ba＋b－c＋＋

abcbcacab＝a＋b＋c＋a＋b＋c－3 3bca3cab≥3··＋3··－3＝6－3＝3. abcabc当且仅当a＝b＝c时取等号．

证明不等式的方法与技巧

(1)观察式子的结构特点，分析题目中的条件．若具备“一正，二定，三相等”的条件，可直接应用该定理．

若题目中不具备该条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．

(2)三个正数的算术—几何平均不等式是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此凡是利用该不等式证明的不等式，一般可用比较法证明．

1111．设a，b，c＞0，求证：3＋3＋3＋abc≥23. abc证明：因为a，b，c＞0，由算术—几何平均不等式可得

3111111＋＋≥3··，

a3b3c3a3b3c31113即3＋3＋3≥(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．

abcabc1113所以3＋3＋3＋abc≥＋abc. abcabc而3＋abc≥2abc3·abc＝23(当且仅当a2b2c2＝3时，等号成立)，

abc1116所以3＋3＋3＋abc≥23(当且仅当a＝b＝c＝3时，等号成立)．

abc2．已知a1，a2，…，an都是正数，且a1a2…an＝1，求证：

(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥3n. 3证明：因为a1是正数，根据三个正数的平均不等式，有2＋a1＝1＋1＋a1≥3a1. 同理2＋aj≥3

3aj(j＝2,3，…n)．

将上述各不等式的两边分别相乘即得

(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an) 333≥(3a1)(3a2)…(3an) 3＝3n·a1a2…an. ∵a1a2…an＝1，∴(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥3n. 当且仅当a1＝a2＝…＝an＝1时，等号成立.

用平均不等式求最值

31

[例2]

(1)求函数y＝(x－1)2(3－2x)24(2)求函数y＝x＋(x>1)的最小值．

x－12[思路点拨]

对于积的形式求最大值，应构造和为定值．

(2)对于和的形式求最小值，应构造积为定值．

3解：(1)∵10，x－1>0. 2y＝(x－1)2(3－2x) ＝(x－1)(x－1)(3－2x)≤131＝3＝27，

当且仅当x－1＝x－1＝3－2x，

3411，时，ymax＝. 即x＝∈32274(2)∵x＞1，∴x－1>0，y＝x＋

x－12114＝(x－1)＋(x－1)＋＋1 22x－12≥33114x－1·x－1·＋1＝4，

22x－12x－1＋x－1＋3－2x33

114当且仅当(x－1)＝(x－1)＝，

22x－12即x＝3时等号成立．即ymin＝4.

(1)利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．

(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件“即一正二定三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．

3．设x>0，则f(x)＝4－x－1的最大值为(

) 2x2

A．4－2

2

B．4－2 5

D.

2C．不存在

3xx1xx1135解析：∵x>0，∴f(x)＝4－x－2＝4－2＋2＋2x2≤4－3··2＝4－＝. 2x222x22答案：D 4．若0＜x＜1，则函数y＝x4(1－x2)的最大值是________，此时x＝________. 2221221x＋x＋2－2x342解析：因为0＜x＜1，所以y＝x(1－x)＝x·x(2－2x)≤223＝27，当且42仅当x2＝x2＝2－2x2，即x＝46答案：

27364时，函数y＝x4(1－x2)取得最大值. 327

用平均不等式解应用题

[例3]

如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距sin θ离r的平方成反比，即E＝k2. r这里k是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？

[思路点拨]

根据题设条件建立r与θ的关系式→

sin θ将它代入E＝k2→得到以θ为自变量，E为因变量的函数关系式

r→用平均不等式求函数的最值→获得问题的解

2[解]

∵r＝，

cos θπsin θcos2θ0<θ<. ∴E＝k·24222k2k2k22sinθ＋cosθ＋cosθ3k224222∴E＝·sinθ·cosθ＝·(2sinθ)·cosθ·cosθ≤·1632323＝108. 2当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，

12即tan2θ＝，tan θ＝. 22∴h＝2tan θ＝2.即h＝2时，E最大．

sin θcos2θ本题获解的关键是在获得了E＝k·后，对E的表达式进行变形求得E的最大4值．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可求解．

5．已知长方体的表面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．

解：设长方体的体积为V，长、宽、高分别是a，b，c，

则V＝abc，S＝2ab＋2bc＋2ac. ab＋bc＋ac3S3SV＝(abc)＝(ab)(bc)(ac)≤3＝6＝216. 223S3当且仅当ab＝bc＝ac，即a＝b＝c时，上式取“＝”号，V取最小值. 2162a＝b＝c，6S由解得a＝b＝c＝. 62ab＋2bc＋2ac＝S，

即当长方体的长宽高都等于

6SS

6S时，体积最大，最大值为. 636

对应学生用书P10 1．已知x为正数，下列各题求得的最值正确的是(

) 3244A．y＝x＋2x＋3≥3x·2x·3＝6，∴ymin＝6. xx231133B．y＝2＋x＋≥32·x·＝32，∴ymin＝32. xx1C．y＝2＋x＋≥4，∴ymin＝4. x

13x＋1－x＋1－2x388D．y＝x(1－x)(1－2x)≤＝，∴ymax＝. 381381a＋b＋c33解析：A，B，D在使用不等式a＋b＋c≥3abc(a，b，c∈R＋)和abc≤3(a，b，11x＋≥2＋2c∈R＋)都不能保证等号成立，最值取不到．C中，∵x>0，∴y＝2＋x＋＝2＋xx1＝4，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．

x答案：C 2．设a，b∈R＋，且a＋b＝3，则ab2的最大值为(

) A．2 C．4 bb解析：∵ab2＝4a××

22

B．3

D．6 a＋b＋b322

≤43＝4a＋b3＝4×13＝4，

3b当且仅当a＝＝1时，等号成立．

2即ab2的最大值为4. 答案：C 3．若logxy＝－2，则x＋y的最小值是(

) 332A.

233C.

283

B.

322

D.

311解析：由logxy＝－2得y＝2.而x＋y＝x＋2

xx3xx131332xx1x13＝＋＋2≥3··2＝3＝，当且仅当＝2即x＝2时取等号．

22x22x422x答案：A 4．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是(

) A．V≥π

1C．V≥π

8

B．V≤π

1

D．V≤π

86－4r6－4r解析：设圆柱半径为r，则圆柱的高h＝，所以圆柱的体积为V＝πr2·h＝πr2·22

＝πr2(3－2r)≤πr＋r＋3－2r33＝π.

当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．

答案：B 5．设0

________. 解析：∵00. 3故2x1－x1－x

≤2x＋1－x＋1－x2＝. 3314当且仅当x＝时取等号. ∴x(1－x)2≤3274答案：

276．若a>2，b>3，则a＋b＋1的最小值为________．

a－2b－3解析：a>2，b>3，∴a－2>0，b－3>0. 11则a＋b＋＝(a－2)＋(b－3)＋＋5 a－2b－3a－2b－3≥331a－2×b－3×＋5＝8. a－2b－31当且仅当a－2＝b－3＝即a＝3，b＝4时等号成立．

a－2b－3答案：8 17．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值x－a2为________．

11解析：2x＋＋2a，

2＝(x－a)＋(x－a)＋x－ax－a2∵x－a>0. 311∴2x＋x－ax－a＋2a，

2≥3x－ax－a2＝3＋2a，

1当且仅当x－a＝即x＝a＋1时，取等号．

x－a21∴2x＋的最小值为3＋2a. x－a2由题意可得3＋2a≥7，得a≥2. 答案：2

8．设a，b，c∈R＋，求证：

1119(a＋b＋c)a＋b＋b＋c＋a＋c≥. 2证明：∵a，b，c∈R＋，

∴2(a＋b＋c)＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥

33a＋bb＋cc＋a>0. 3111111＋＋≥3··>0，

a＋bb＋ca＋ca＋bb＋ca＋c1119∴(a＋b＋c)a＋b＋b＋c＋a＋c≥. 2当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

9．设x，y，z>0，且x＋3y＋4z＝6，求x2y3z的最大值．

xx6解：∵6＝x＋3y＋4z＝＋＋y＋y＋y＋4z≥6x2y3z，

22x当＝y＝4z时，取“＝”. ∴x2x3z≤121∴x＝2，y＝1，z＝时，x2y3z取得最大值1. 410．有一块边长为36 cm的正三角形铁皮，从它的三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器，要使这个容器的容积最大，剪下的三个四边形面积之和等于多少？最大容积是多少？

解：剪下的三个全等的四边形如图所示，设A1F1＝x，则AF1＝3x，

∴A1B1＝F1F2＝36－23x. ∴V＝＝3(36－23x)2·x

433(63－x)(63－x)·2x. 2∵0＜x＜63，∴63－x＞0. 3363－x＋63－x＋2x3∴V≤. 23又(63－x)＋(63－x)＋2x＝123，

∴当63－x＝2x，即x＝23时，V有最大值，

33这时V最大＝·(43)3＝864(cm3)．

2∵S四边形A1F1AE2＝x·3x＝3x2＝123(cm2)，

∴三个四边形面积之和等于363 cm2.