探究与发现 组合数的两个性质教学设计及课堂实录

1.2.1 排列

一、教学目标：

知识与技能：

了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，并能运用排列数公式进行计算．

过程与方法:

经历排列数公式的推导过程，从中体会“化归”的数学思想．

情感、态度与价值：

能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．

二、教学重点、难点

重点：排列、排列数的概念．

难点：排列数公式的推导．

三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．

“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线. “抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点. 学法：突出探究、发现与交流．

四、教学过程

(一)创设情境，探究新知

问题：有30个人参加吃西瓜比赛，分别选出冠军、亚军、季军有多少中选法？选出前四名呢？选出前10名呢？

（二）探究新知

提出问题：你能把上述问题总结一下，概括出排列的定义吗？

活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．

活动成果：

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

说明：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同．

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的

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排列数，用符号Amn表示．

注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号Amn只表示排列数，而不表示具体的排列．

设计意图：引导学生通过具体实例总结概括出排列和排列数的概念，培养学生的抽象概括能力．

提出问题2：继续刚才30个人吃西瓜比赛的问题，怎样求排列数？

活动设计：学生独立思考，举手回答．

活动成果：这显然是个排列问题，解决这个问题分三个步骤：第一步先确定冠军，在30个数中任取1个，有30种方法；第二步确定亚军，从余下的29个数中取，有29种方法；第三步确定季军，从余下的28个数中取，有28种方法．

由分步乘法计数原理共有：30×29×28＝24360种不同的方法，用树形图排出，并写出所有的排列．由此可写出所有的排法．

显然，从30个人中，每次取出3个，按冠军、亚军、季军的顺序排成一列，就得到一个前三名．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：

第1步，确定冠军，在1,2,3,4……30个人中任取1个，有30种方法；

第2步，确定亚军，当冠军位上的人确定后，亚军位上的人只能从余下的29个中去取，有29种方法；

第3步，确定季军，当冠军、亚军位上的人确定后，季军的人只能从余下的28个人中去取，有28种方法．

根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4……30个人中，每次取出3个数字，按“冠军”“亚军”“季军”位的顺序排成一列，共有30×29×28＝24360种不同的排法，因而共可得到24360个不同的前三名取法．

设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．

2提出问题3：由以上两个问题我们发现：A22＝6，A33×2＝24，你能否得出An的意义和A23＝3×4＝4×n的值？

活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．

活动成果：由A2n的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1，a2，…，an中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A2n.由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n－1)种填法，∴A2n＝n(n－1)．

设计意图：由特殊到一般，引导学生逐步推导出排列数公式．

2

m提出问题5：有上述推导方法，你能推导出A3n，An吗？

活动设计：学生自己推导，学生板演．

3m活动成果：求A3n可以按依次填3个空位来考虑，∴An＝n(n－1)(n－2)，求An可以按依次填m个空位m来考虑：An＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，

m由此可以得到排列数公式：An＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N，m≤n)．

说明：(1)公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数；

(2)全排列：当n＝m时即n个不同元素全部取出的一个排列．

全排列数：Ann＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．

另外，我们规定0！＝1. 所以Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！Ann＝n－m. （n－m）！An－m设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出排列数公式．

理解新知

分析下列问题，哪些是求排列数问题？

(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？

(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？

(3)用0,1,2,3,4这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

(4)用1,2,3,4,5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

(5)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？

(6)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？

活动设计：学生自己完成，没有把握的问题和同桌讨论．教师巡视，找同学说出答案和理由．

活动成果：(1)是

(2)不是

(3)是

(4)是

(5)不是

(6)不是

(2)不是从5个不同的元素中选出三个不同的元素，而是从多个可以相同的元素中，选出三个元素排

成一列，不符合排列中元素不同的规定．

(3)是排列问题，但排列数中有一部分0在百位的不是三位数．

(5)中选出的两个元素的和与顺序无关，不符合排列的定义．

设计意图：加深对排列和排列数的理解．

（三）应用巩固

[典例1]

判断下列问题是否是排列问题：

(1)从2，3，5，7，11中任取两数相乘可得多少个不同的积？

3

(2)从上面各数中任取两数相除，可得多少个不同的商？

(3)某班共有50名同学，现要投票选举正副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？

(4)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买商品后再从另一个门出

，不同的出入

方式共有多少种？

解：

(1)乘法符合交换律与顺序无关，不是排列问题．

(2)上、下互换结果不一样，与顺序有关，是排列问题．

(3)请同学们记住“正”的就是“正”的，正副不同，是排列问题．

(4)“门”不同，先后也不一样，是排列问题．

[变式训练1]

判断下列问题是否是排列问题．

(1)从2，3，5，7，9中任取两数作为对数的底数与真数，可得多少个不同的对数值？

(2)空间有10个点，任何三点不共线，任何四点不共面，则这10个点共可组成多少个

不同的四面体？

(3)某班有10名三好学生，5名后进生，班委会决定选5名三好学生对5名后进生实行

一帮一活动，共有多少种安排方式？

(4)若从10名三好学生中选出5名和5名后进生组成一个学习小组，共有多少种安排方式？

解：(1)对数的底数与真数不同，所得的结果不同，是排列问题．

(2)四面体与四个顶点的顺序无关，不是排列问题．

(3)选出的5名三好学生与5名后进生进行一帮一活动与顺序有关，

是排列问题．

(4)选出的5名三好学生与5名后进生组成一个学习小组与顺序无关，不是排列问题．

[典例2] 计算：

!(m1)!(1)A316 (2)A6(3)8!7!6

75!(4)mAm2m2

解：

(1)A316 1615143360（2）A66654321720

(3)8!7!742

(4)

m

!

5!

(A

m

1)!m



2

=m22m1

m2变式训练2 计算：

A58A4865_________

A9A94A444

解：原式=

8A85A85A4854A5559A93A939A4827

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五、小结

1．知识收获：排列概念、排列数公式．

2．方法收获：化归．

3．思维收获：分类讨论、化归思想．

六、作业

1.课堂检测

七、课后记

分类加法计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类加法计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类．分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事．分步乘法计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的地位是有区别的，分类加法计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步．在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌啰嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题．只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础．

本节课是排列组合的第一课时，本节课的主要内容就是用两个原理推导出排列数公式．本节课的特点是学生自己发现并总结定义，自主探究，自主完成排列数公式的推导．

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