一 比较法教案和学案内容

不等式的证明

------比较法 河北省临漳县第一中学 王光青

【教学目标】

1.

知识与技能

掌握两个实数的大小与它们的差值的等价关系以及理解并掌握比较法的一般步骤。

2.

过程与方法

掌握运用比较法证明一些简单的不等式的方法；理解、掌握不等式基本性质的导出过程，并能运用性质证明一些简单的不等式。

3.

情感态度与价值观

通过数轴比较两个实数的大小关系，体会数形结合的思想；掌握数学研究的基本方法。

【教材分析】

两个实数的大小

教学重点：理解并掌握作差比较法证明不等式；

教学难点：求差后对“差式”进行适当变形，并判断其符号。

【教学过程】

作差比较作商比较法

教学过程

教师活动

学生活动

设计意图

复

习

旧

知

讲

授

新

知

师：通过之前的学习，我

们知道实数集与数轴生：作差法或

上点是一一对应的，那作商法。

么要比较两个实数的

大小，我们可以怎么若a>b



a-b>0 做？

若a=b



a-b=0 师：通过对两个实数作差若a



a-b<0 考虑其差值与0的大小

关系，或是对其作商考虑其商与1的大小关系都可以实现。

高一的时候我们已经接触过简单的不等式的证明

那时我们主要是根据

数大小关系的基本事实

不等式的基本性质

作为证明不等式的出发点

基本不等式

绝对值不等式

那这节课我们就进一步来学习证明不等式的基本方法。

一．比较法

生：作差比较法

即通过比较式子两边的大1.

作差

小关系进而确定不等式的2.

变形

大小。

3.

定号（判断符号）

也就是我们所说的作差法4.

下结论

和作商法

首先我们一起回顾一下作1.一个常数

差比较法。

2.几个平方和的形式

配方法

师：而其中最难的部分就3.平方和与数的结合的形式

是变形这一部分，如何

才能将作差后的式子几个因式积的形式

因式分解法

通过适当的变形可以（当然包括分式）

直接与0比较大小呢？

换句话说：那就得考虑什注：对于分式情况中的配方法或是因式分解法常常么形式的式子可以直与通分联系在一起考虑。

接与0比较大小呢？

作差法中的配方法

师：下面我们就结合例题着重讲解如何通过配方法、因式分解法对式子进行变形

。

1.作差法

（1）

配方法

例1．

对于实数a,b求证

例1 解：1.作差：

a2b22(2a2b)

:(a22a1)(b22b1)

(a1)2(b1)20a2b222a2b

例2．

求证：

a2b2abab1

此题通过作差最终化成两个平方和的形式，而我们知道每个平方都是一个非负数，所以最终结果为：

解：

法一：作差

(a2b2)(abab1)a2b2abab12a22b22ab2a2b2

2

222法一主要是从配凑2ab入(ab)(a1)(b1)02手法二主要是从常规做法拼凑出平方和的形式。

法二：作差

a2b2abab1

22a(b1)abb1

2

b1(b1)2

2abb1作业1：已知实数a,b,c,d,24求证

b123(b1)2(a)0222224acbdabcd

作差法中

注意分类讨论的思想以及配方的思想。

例3：已知a，b为正数，证明：

且ab，求证：(a3b3)(a2bab2)

a3b3a2bab2

主要考查学生拆项、组项的能力

a2(ab)b2(ab)

(ab)(a2b2)(ab)2(ab)因为a>0,b>0且ab

所以a+b>0,(ab)20

所以：……

的

因式分解

例4：已知a>0,b>0.求证证明：作差法

abbaab

ab(abaab

ba

将不等式两边作差后进行局部通分后在提取公因式，此时有个小技巧就是要将（a-b）化为babbb)(baaaba)(ab)(ab)的形(ab)(ab)

作商法

式以便与后面配成平方的(ab)(ab)20形式进而与0判断大小。

ab

例5：已知正数a,b，求证：

法一（作差法）：

abbbabba当且仅当a=b

aabbabba

时，等号成立。

先由作差法引入，在引导学生分析式子特点，进而采取另外一种做法即作商法。

根据要证的不等式的特点（交换a,b的位置）

变式：用作商法证明abaaab

如果a>b,则abbb(aabbab)0；

如果a

法二（作商法）：

aabbaababbaab()

babaa分析a>b及

a

abbaabaabbab(ab)(a)3(b)3ab(ab)(ab)(abab)ab(ab)(ab)21

证明指数不等式时常用作商法，而证明整式不等式、分式不等式、对数不等式常用作差法，其原则是看是否有利于变形。

作业2：

求证：若a>b>c>0，求证：

aabbcc(abc)

abc3

ab所以：……

1