2.基本不等式公开课教案

《基本不等式》教案（第一课时）

仁寿一中南校区

高群仙

2018—5—6

一、教学目标

知识与技能：1、.探索并了解基本不等式的代数及几何意义；

2、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式，体会“特殊到一般”、“特殊化”、“数形结合”的数学思想方法。

情感态度与价值观

通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。

二、教学重点：1.数形结合、特殊到一般的思想理解基本不等式的代数及几何意义；

2.基本不等式成立的条件及应用。

三、教学难点：基本不等式成立的条件及应用

。

四、教学方法：“四步教学法”

五、教具准备：

投影仪

六、教学过程

（一）创设情境揭示课题

利用三国时期东吴的数学家赵爽的弦图和国际数学家大会的会标激发学生学习的兴趣和热情，通过实例、观察、归纳、抽象、总结出基本不等式。共同探讨基本不等式的几何意义；然后再从代数的角度给予基本不等式的证明。进一步学习“特殊化”、“数形结合”的数学思想

自主学习教材P5——P7，完成导学提纲探究一、二. 探究一赵爽的“弦图”中，由面积的角度，你能找到怎样的不等关系？

探究二：基本不等式的几何意义

小组合作讨论：1、探索出的哪两个不等式？它们有区别吗？如何证明？

2、什么是算术平均数和几何平均数？谈谈基本不等式的代数及几何意义及哪些疑惑。

3、谈谈对探究中数学思想方法的体会

4、谈谈课本P7例3最后一段话的体会。

（二）师生解疑

若a,b0，则a2b22ab

问题一：1、能否取到等号？什么时候取等号？ 2、以上结论能否推广到任意实数a,b?(特殊到一般思想）

总结：重要不等式：一般地，对于任意实数

a、b，我们有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立。你能给出证明吗？（让学生体会作差比较法的证明方法）

问题二：用a,b去替换a2b22ab中的a,b能得到什么结论？（唤醒学生特殊化思想：）

结论：ab2ab

(a0,b0)，当且仅当ab时取等号.

你能给出证明吗？引导：为什么可以替换？a,b要满足什么条件？

数形结合

深化认识展示课题内容

深化认识：待学生思考、讨论、归纳后，整理出

称ab为a,b的几何平均数；称abab为a,b的算术平均数.所以基本不等式2ab的代数意义是：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数. 2从数列角度看:两个正数的等差中项不小于它们的正等比中项

基本不等式的几何背景探究

如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，ACa，BCb．过点C作垂D 直于AB的弦DE，连接AD,BD．

ab引导学生发现：表示圆的半径，

2B A C O ab表示半弦长CD, 得到不等关系：ab基本不等式abab

(a0,b0)

2E ab的几何意义是：半径不小于半弦长. 2（三）初步应用：

教材P6例3求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方形的面积最大. (2) 在所有面积相同的矩形中,正方形的周长最短. 让学生触类旁通、举一反三， 探究：应用基本不等式的条件：七个字“一正二定三相等”。否则必错无疑。

灵活变式训练：变化1：x,y0若xyp（定值），则x2y的最小值是________

推广：mx+ny(m>0,n>0)的最小值为_____ P（四）拓展延伸、辨析质疑

变化2：探究形如y= x+的最值

x例2判断下列推理是否正确：（小组讨论：）

1①

x∈R，,求函数f(x)=x+的范围

x11解:f(x)x2x2第一步：下面解答可能有错，如果错了，错在哪里？

xx

1当且仅当x即x1时函数第二步：案例展示 析误区

x

取到最小值2.4其中（0，]的最小值

②求y)=sin+44解：ysin2sinsin2sinsin第一步：下面解答可能有错，如果错了，错在哪里？

4,函数的最小值为4。（第二步：案例展示 析误区

五）归纳小结，反思提高

1、运用基本不等式解决简单最大（小）值问题的基本方法．（把握

“三字方针”，即

“正、定、等”缺一不可，否则必错无疑；基本不等式无奈时，双勾函数显神通）

2、数学思想：基本不等式的探究过程（从特殊到一般、特殊化思想）；基本不等式的几何解释（数形结合）. （六）作业布置：P10练习：3，4.

9,10.