阅读与思考 法国科学家柯西优质公开课教案

阅读与思考法国数学家柯西与柯西不等式（一）教学设计

一、设计思想：

本节乃至本讲的编写意图不是仅仅介绍法国数学家柯西及经典不等式及其证明方法，而是更希望能通过分析和解决问题，讨论经典不等式的简单应用，提高学生运用重要数学结论进行推理论证的能力，即在理解重要数学结论的基础上，能够发现面临的具体问题与重要数学结论之间的内在联系，并善于利用这样的联系，应用重要数学结论及其所反映的数学思想方法解决具体问题。

二、教材分析：

阅读与思考法国数学家柯西与柯西不等式是人教A版教材选修4-5第三讲第一节阅读材料的内容，所涉及的柯西不等式是学生继学习均值不等式之后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用，一方面巩固了前面证明不等式及求最值的基本方法，另一方面与后面研究的三维形式的柯西不等式及一般形式的柯西不等式有着相通的研究方法，是从特殊到一般的研究过程。本节教学的核心是二维形式的柯西不等式以及它的简单应用。

三、学情分析：

学生不仅掌握了不等式的基本证明方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推理能力，学生对柯西不等式的向量形式也有了一定的认识，这是学生知识的“最近发展区”。另外授课班级是高二年级（11）班，学生基础较好，学习积极性较高。

四、教学目标

1、知识与技能目标

（1）了解数学史：法国数学家柯西

（2）再次认识二维柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义。

（3）能用二维柯西不等式解决简单的证明问题及求最值问题。

2、过程与方法目标

通过创设情境提出问题，然后探索解决问题的方法，培养学生

独立思考能力和逻辑推理能力及数形结合能力。

3、情感态度与价值观

简单介绍法国数学家柯西，渗透数学史和数学文化。

五、教学重难点

（1）教学重点 二维形式的柯西不等式

；

二维形式的柯西不等式的向量形式

（2）教学难点 数形结合的认识两种形式的等价关系；应用柯西不等式求最值

六、教学过程

（一）人物简介，历史视屏材料

柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857），出生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。并且在数学领域，有很高的建树和造诣。很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式

老师提问：柯西不等式是怎么发现的呢？

出几个计算题

1+234____13243+568____3658

2+436____2346学生猜想：a+bcdacbd2222222222222222（二）定理探究

定理：（二维柯西不等式的代数形式）设a,b,c,d均为实数，则

(a2b2)(c2d2)(acbd)2, 其中等号当且仅当adbc时成立。

教师提问：柯西不等式的代数形式中两边不等式结构各有什么特点？

你能用自己的语言叙述？

学生回答：结构特点：左边是a,b,c,d字母的“方和积”，右边是字母对应的“积和方”；

柯西不等式的语言叙述：“方和积”不小于“积和方”

应用时是看“方和积”还是“积和方”？依具体问题而定。

代数证明过程如下: (a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2(acbd)2(adbc)2(acbd)2

当且仅当adbc时等号成立. （也可以用比较法证明，也可以用向量法证明，也可以构造一元二次函数证明）

让学生分成六个小组讨论证明方法，把写得好的方法在黑板上投影

设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的坐标=（a,b）

22=（c,d）那么它们的数量积为acbd而||ab，||c2d2||||cos，且仅当两个向量共线时成立。

cos1||||||，其中等号当教师指出：（向量法）设向量m(a,b)，n(c,d)，则|m|a2b2，|n|c2d2. ∵

mnacbd，且mn|m||n|cosm,n，则|mn||m||n|. ∴

|acbd|a2b2

变式：a2b2c2d2 ∴(a2b2)(c2d2)(acbd)2

c2d2|acbd|

或

a2b2c2d2|ac||bd|

或a2b2c2d2acbd

变式：a2b2c2d2|acbd|

或

a2b2c2d2|ac||bd|

或a2b2c2d2acbd.

定理：（二维柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则

||||||，当且仅当是零向量或存在实数k，使k时等号成立。

用向量坐标表示不等式||||||，得|acbd|a2b2c2d2

两边平方，得到二维柯西不等式的代数形式

(a2b2)(c2d2)(acbd)2，等号成立的条件为ad=bc 【设计意图】不等式部分的课题引入很难，本节课利用学生的“最近发展区”

学生熟悉向量引入巧妙地化解了困难，同时有效地整合了教材，

使两个定理的讲解浑然一体。突破了教学难点，突出了重点。

（二）定理应用

1.不等式的证明：

例1：设a,b是正实数，a+b=1，求证114

ab2. 求最大（小）值：

例2：若3x4y2,求x2y2的最小值。

分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值。（|acbd|a2b2c2d2）

3真题展示

（）1.(2014陕西高考）设a,b,m,nR,且a2+b2=5ma+nb=5,则mn的最小值为________.x2y3z14,则xyz_________.22

（2）.2013.湖北高考设x,y,zR,且满足：x2y2z21,

（3）.(2013湖南高考）已知a,b,cR,a+2b+3c=6则a4b9c的最小值为_________.222

【设计意图】1.培养学生用适当的变形手段解决问题的能力。

2.比较一个问题的多种解法，便于学生灵活应用。

3.理解反思、巩固提高

（二）小结与作业

【设计意图】突出重点、夯实基础