2.基本不等式优质课一等奖教案

《基本不等式》教学设计

眉山中学

邹

平 【教学目标】

知识目标：使学生掌握使用算术平均数与几何平均数的定理求某些函数的最值，并解决相关的应用问题；

能力目标：通过对定理的应用的研究，渗透“转化与化归”的数学思想，培养学生发现问题，分析问题和解决问题的能力．

情感态度与价值观：在学习和解决问题的过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察，勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

【教学重点、难点】

教学重点：用基本不等式求某些函数的最值及相关的应用问题．

教学难点：理解定理的使用条件. 【教学手段】

计算机辅助教学

【教学方法】

发现法，归纳法，讲练结合法；

【教学过程】

一、复习提问

引入新课：

上节课我们学习了两个正数的基本不等式及其变形，下面我们一起来回顾这些知识. 请同学们说出两个重要不等式及其变形. 请一名学生口答，结合学生的回答，教师用计算机显示下面的答案：

基本形式

22若a,bR，则ab2ab

其他形式

两个正数的算术平均数与几何平均数是利用不等式性质推导出的重要定理，它在数学和实际生活中具有重要作用，上节课我们使用重要不等式进行了不等式证明，今天我们来学习如何使用重要不等式求某些函数的最值，并解决相关的应用问题.

1

（当且仅当ab时取“=”）. 若a,bR*，则ab2ab

（当且仅当ab时取“=”）

若a,bR，则均值定理及重要变形abab

2（当且仅当ab时取“=”）

*

ab*若a,bR，则ab

2（当且仅当ab时取“=”）

2

对学生回答中可能出现的问题进行纠正.

板书本节课的课题：算术平均数与几何平均数（2）. 首先我们来看两个例子(利用计算机给出) 不等式若a,bR*，则ab2ab（当且仅当ab时取“=” ）中，

（1）若令ax,b“=”成立。

1111，（x＞0），则x≥2x2，当且仅当x即x1时xxxx2x1x1（2）若令ax,b1x,（0＜x＜1），则x(1-x)≤=，当且仅当

x=1-x24即x=1时“=”成立。

2教师引导学生观察、分析，猜想：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值.

二

、师生互动

探究新知

例1 已知x,y都是正数，求证：

（1）

如果积xy是定值p,那么当xy时，和xy有最小值2p；

（2）

如果和xy是定值s,那么当xy时，积xy有最大值12s. 4教师引导学生结合定理证明例1.并进一步归纳出:“积定和最小，和定积最大”.

请同学们思考：下列命题是否正确，并指出不正确的原因. （1）

当x≠0时，x21的最小值为2；

x22（2）

已知x＞0，x+1≥2x，当且仅当x=1即x=1时“=”成立，所以x+1的最小值为2；

（3）

当x≥2时，x1的最小值为2. x在学生思考讨论后，请学生统一回答. 教师根据学生的回答归纳定理的使用条件：“一正、二定、三相等” . 三、自我尝试

运用新知

例2 .某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理

解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

2

1600)

x16002400007202x

x2400007202402976001600,即x40时,l有最小值2976000.

当xxl240000720(x因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件

例3．（1）求函数f(x)x1

(x＞0)的最大值，并求出相应的x值; x1（2）求函数f(x)=x(x＞2)的最大值，并求出相应的x值. x2教师引导学生分析，最后由学生独立完成，教师巡视学生的完成情况，对学生进行个别指导. 解：（1）分析：因为-x＜0，x＞0所以将负号提出

f(x)x当且仅当x111=(x)≤-2xxxx=-2

1即x=1时“=”成立。

x1不为定值，所以不能直接使用定理求最值，需要构造条件使x2故函数f(x)的最大值为-2，此时x＝1. （2）分析：因为x积为定值. 1112≥2(x2)=x224

x2x2(x2)1当且仅当x2即x3时取“=”号

x2故函数f(x)的最大值为-2，此时x＝1. f(x)=x(通过例3使学生掌握如何构造“正数和定值”.)

1变式训练：求函数f(x)x(12x)（0＜x＜）的最大值，并求出相应的x值。

2x21,x2,，求函数f(x)的最小值。

例4.已知f(x)x引导学生对函数进行整理变形

请同学们思考：函数能用定理求最值吗？（学生观察后发现等号不能成立）

下面我们通过函数的单调性来求最值，首先我们先通过函数的图像来观察函数的单调性.因为此函数在x0时是奇函数，因此我们先画出x＞0时的图像，最后利用对称性作出x＜0部分的图像. 【电脑演示函数的图像】引导学生结合定理分析函数图象.

3

x211x

解f(x)xx设x1,x22,

且x1＜x2

xx1111x1x22f(x1)f(x2)=x1x2(x1x2)(1)

x1x2x1x2x1x21＜1f(x1)f(x2)＜0f(x)在2,上为增函数

x2＞x1≥2x1x2＜0

x1x255f(x)≥f(2)

即f(x)的最小值为。

22函数f(x)在2,上是增函数

5f(x)minf(2)

2(通过例4使学生掌握当等号不成立时，不能使用定理求最值，应使用函数单调性求最值.)

课堂练习：

81的值最小?最小值是多少? x28181分析：注意到x2＋2是和的形式，再看x2·2＝81为定值，从而可求和的最小值

xx8181281解：x≠0x2＞0，2＞0,∴x2＋2≥2x2＝18，

xxx81当且仅当x2＝2，即x＝±3时取“＝”号

x12、求函数f(x)x

(x＜0)的最大值，并求出相应的x值. x111)≤-2(x)解：f(x)x=(x=-2

xx(x)1当且仅当x即x=-1时“=”成立。

x3 、求函数f(x)6x(83x)（0＜x＜2）的最大值，并求出相应的x值

1解：分析：因为6x(83x)3x不为定值，所以不能直接使用均值不等式，需要构造21 、已知x≠0，当x取什么值时，x2＋条件使和为定值。

23x(83x)

f(x)6x(83x)=23x(83x)≤2244当且仅当3x＝8－3x时，即x＝时取“＝”号

342故函f(x)数的最大值为，此时x＝

342

四、回顾反思

归纳小结

下面请同学们从三个方面来回顾本节课

4

（1）这节课学习的主要内容是什么？

（2）使用定理求最值需要注意什么？

（3）本节知识的学习渗透了哪些数学思想？

（先由学生叙述，最后教师补充整理）

小结：

（1）使用基本不等式求某些函数的最值，并解决相关的应用问题；

（2）使用定理时需要注意：

“一正

、二定

、三相等”；

（3）渗透了“转化与化归”、“数形结合”的数学思想. 五、作业布置

必做题：教材P.11习题6.2的第4题、第5题和第7题;

选做题：求函数f(x)六、板书设计

基本不等式

一

公式及变形

二

例题

例

1 例

2

例

3 例4

x25x42最小值.

5