2.2.3 两条直线的位置关系优质课教案内容

3.3.1 两条直线的交点坐标

目标

1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系. 2.当两条直线相交时，会求交点坐标

3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论. 重点难点

教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解. 教学过程

导入新课

思路1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系. 课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗. 思路2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题. 提出问题

①已知两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如何判断这两条直线的关系？

②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？

③解下列方程组(由学生完成)：

2x6y30,2x6y0,3x4y20,(ⅰ); (ⅱ); (ⅲ)1111. yxyx2xy203232如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？

④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标. 讨论结果：①教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看下表，并填空. 几何元素及关系

点A 直线l 点A在直线上

直线l1与l2的交点A 代数表示

A(a，b) l：Ax+By+C=0 l：Aa+Bb+C=0

A1aB1bC10,

A2aB2bC20设两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要A1xB1yC10,看这两条直线方程所组成的方程组是否有唯一解. AxByC0222(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l1与l2相交;

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(ⅱ)若二元一次方程组无解，则l1与l2平行; 例1 求下列两直线的交点坐标,l1：3x+4y-2=0,l2：2x+y+2=0. 解:解方程组3xy20,得x=-2，y=2，所以l1与l2的交点坐标为M(-2，2). 2xy20,变式训练

求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0. 解:解方程组x-2y+2=0, 2x-y-2=0,得x=2y=2,所以l1与l2的交点是(2,2). 设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x. 例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标. (1)l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0. (2)l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0. (3)l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0.

5x,xy0,553解:(1)解方程组得 所以l1与l2相交,交点是(,). 333x3y100,y5.33xy40,(2)解方程组6x2y10,3x4y50,6x8y100,(1)

(2)①×2-②得9=0,矛盾,方程组无解,所以两直线无公共点,l1∥l2. (3)解方程组(1) ①×2得6x+8y-10=0. (2)因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l1与l2重合. 变式训练

判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点. (1)l1:7x+2y-1=0,l2:14x+4y-2=0. (2)l1:(3-2)x+y=7,l2:x+(3+2)y-6=0. (3)l1:3x+5y-1=0,l2:4x+3y=5. 答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交点坐标为(2，－1). 课堂小结

本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程系数比的关系与直线位置关系的联系.培养了同学们的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想.通过本节学习，要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.当两条直线相交时，会求交点坐标.注意语言表述能力的训练.通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点.

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