2.2.3 两条直线的位置关系教学目标设计

3.1.2

两条直线平行与垂直的判定

学习目标

1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直.3.能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题．

知识点一

两条直线平行的判定

思考1

如图，设对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？

答案

α1与α2之间的关系为α1＝α2；对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，因为α1＝α2，所以tan α1＝tan α2，即k1＝k2.当α1＝α2＝90°时，k1与k2不存在．

思考2

对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？

答案

一定有l1∥l2.因为k1＝k2⇒tan α1＝tan α2⇒α1＝α2⇒l1∥l2. 梳理

类型

前提条件

对应关系

斜率存在

α1＝α2≠90°

l1∥l2⇔k1＝k2

斜率不存在

α1＝α2＝90°

l1∥l2⇐两直线斜率都不存在

图示

知识点二

两条直线垂直的判定

思考1

如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，且α1<α2，若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？

答案

α2＝90°＋α1，因为三角形任意一外角等于与它不相邻两内角之和．

1思考2

已知tan(90°＋α)＝－，据此，如何推出思考1中两直线的斜率k1、k2之间的关tan α系？

答案

因为α2＝90°＋α1，

所以tan α2＝tan(90°＋α1)，

11由于tan(90°＋α)＝－，tan α2＝－，

tan αtan α1即tan α2tan α1＝－1，

所以k1·k2＝－1. 思考3

如果两直线的斜率存在且满足k1·k2＝－1，是否一定有l1⊥l2？如果l1⊥l2，一定有k1·k2＝－1吗？为什么？

答案

当k1·k2＝－1时，一定有l1⊥l2. 不妨设k2<0，即α2为钝角，因为k1·k2＝－1，

则有tan α2tan α1＝－1，

所以tan α2＝－1＝tan(90°＋α1)，

tan α1则α2＝90°＋α1，所以l1⊥l2. 当l1⊥l2时，不一定有k1·k2＝－1，

因为如果直线l1和l2分别平行于x轴、y轴，

则k2不存在，所以k1·k2＝－1不成立．

梳理

图示

对应关系

l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔k1·k2＝－1

l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2

类型一

两条直线平行的判定

例1

下列直线l1与直线l2平行的有________．

①l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；

②l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；

③l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，3)，N(－2，－23)；

④l1经过点E(－3,2)，F(－3,10)，l2经过点P(5，－2)，Q(5,5)．

答案

①③④

解析

①∵kAB＝5－1－7＋344＝－，kCD＝＝－，

55－3－28－3∴kAB＝kCD，∴l1∥l2. ②∵kl2＝2－1＝1≠kl1＝2，

2－1∴l1不平行于l2. ③∵kl1＝tan 60°＝3，kl2＝∴kl1＝kl2，∴l1∥l2. ④l1，l2斜率均不存在且不重合，∴l1∥l2. 反思与感悟

判断两条不同的直线是否平行的方法

3＋23＝3，

1＋2

a＋11跟踪训练1

已知A(1，－)，B(0，－)，C(2－2a,1)，D(－a,0)四点，当a为何值时，直33线AB和直线CD平行．

1a＋1－＋33a解

kAB＝＝－，

30－10－11kCD＝＝(a≠2)．

－a－2＋2a2－aa1由kAB＝kCD，得－＝，即a2－2a－3＝0. 32－a∴a＝3或a＝－1. 10＋31当a＝3时，kAB＝－1，kBD＝＝－≠kAB，

9－3∴AB与CD平行．

11＋311－011当a＝－1时，kAB＝，kBC＝＝，kCD＝＝，

3434－13∴AB与CD重合．

2当2－2a＝－a，即a＝2时，kAB＝－，kCD不存在．

3

∴AB和CD不平行，

∴当a＝3时，直线AB和直线CD平行．

类型二

两条直线垂直的判定

例2

已知三点A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)．

求证：△ABC是直角三角形．

证明

由斜率公式得：kAB＝－1－13－1－1－314＝－，kBC＝＝2，kAC＝＝－. 235－12－15－21因为kAB·kBC＝－×2＝－1，所以AB⊥BC，

2所以△ABC是直角三角形．

反思与感悟

使用斜率公式判定两直线垂直的步骤

(1)一看：看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步．

(2)二代：将点的坐标代入斜率公式．

(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论．

跟踪训练2

已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A，B为直径作圆，与x轴有交点C，求交点C的坐标．

解

以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C. 则AC⊥BC，设C(x,0)，

－3－2－3－2则kAC＝，kBC＝，所以·＝－1. x＋1x－4x＋1x－4所以x＝1或2，所以交点C的坐标为(1,0)或(2,0)．

类型三

垂直与平行的综合应用

例3

已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5,2)，D(1,2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标．

解

①若∠A＝∠D＝90°，如图(1)，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1)．

②若∠A＝∠B＝90°，如图(2)．

设A(a，b)，则kBC＝－3，kAD＝b－2b＋1，kAB＝. a－1a－6

①

②

b－2由AD∥BC⇒kAD＝kBC，即＝－3；

a－1b＋1由AB⊥BC⇒kAB·kBC＝－1，即·(－3)＝－1. a－6解①②得11b＝－，5引申探究

12a＝，5

1211故A(，－)．

551211，－. 综上所述：A点坐标为(1，－1)或55本例中若将条件“四边形ABCD为直角梯形”改为AC∥BD，AB∥CD，求A点坐标．

解

设A(x，y)，由AC∥BD，AB∥CD，

可得kAC＝kBD，kAB＝kCD，

y－22－－1x－5＝1－6，即y－－12－2x－6＝1－5，

x＝10，得∴A(10，－1)．

y＝－1.

反思与感悟

有关两条直线垂直与平行的综合问题，一般是根据已知条件列方程(组)求解．如果涉及到有关四边形已知三个顶点求另外一个顶点，注意判断图形是否唯一，以防漏解．

跟踪训练3

已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标．

解

设第四个顶点D的坐标为(x，y)，

因为AD⊥CD，AD∥BC，

所以kAD·kCD＝－1，且kAD＝kBC. y－1y－2x－0×x－3＝－1，所以y－12－0x－0＝3－1，

x＝2，解得

y＝3.

所以第四个顶点D的坐标为(2,3)．

1．已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是(

) A．平行

C．可能重合

答案

B 解析

由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．

故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2存在，设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2，故选B. 2．若过点P(3,2m)和点Q(－m,2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是(

) 11A.

B．－

C．2

D．－2 33答案

B 2m－24－－11解析

由kPQ＝kMN，即＝，得m＝－. 33－－m－3－23．直线l过(m，n)、(n，m)两点，其中m≠n，mn≠0，则(

) A．l与x轴垂直

B．l与y轴垂直

C．l过原点和第一、三象限

D．l的倾斜角为135°

答案

D m－n解析

∵直线的斜率k＝＝－1，

n－m∴直线l的倾斜角为135°. 4．若不同的两点P、Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．

答案

－1 3－a－b解析

由两点的斜率公式可得kPQ＝＝1，

3－b－a所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1. 5．已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，试求点D的坐标．

解

设D(x，y)，∵AB⊥CD且AD∥BC，

B．垂直

D．无法确定

2－0y－43－1×x－0＝－1，∴4－2y＝x－10－3，∴D(10，－6)．

y＝4－x，x＝10，即得

2y＝－6，y＝－x－1，3

两直线平行或垂直的判定方法

斜率

斜率均不存在

一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在

斜率均存在

相等

积为－1

直线

平行或重合

垂直

平行

垂直