2.3.2 圆的一般方程优秀教案案例

教学设计

基本信息

名称

执教者

圆的一般方程

闫文秀

课时

1 所属教材目录

人民教育出版社必修二

圆是学生比较熟悉的曲线,在初中几何课中就已学过圆的定义及性质.这节主要是用坐标的方法画圆---建立圆的方程.首先是根据圆的定义,建立圆的标准方程,进而研究圆的一般方程,并在此基础上,运用坐标法,探讨直线与圆、圆与圆的位置关系.由于圆是一种对称、和谐的图形,有很多优美的几何性质,因此,在运用坐标法解决问题的同时,充分利用了圆的几何性质.这节课的重点是圆的两种方程的求法及互化.难点是对待定系数法、数形结合等方法的理解及灵活应用.

上一章，学生已经学习了直线方程，知道在直角坐标系中，直线可以用方程表示，通过方程，可以研究直线间的位置关系，直线与直线交点坐标、点到直线的距离等问题，对坐标法和数形结合的思想方法有了初步体验。圆的一般方程是学生在学习圆的标准方程之后进行研究，是研究二次曲线的开始。主要用坐标法解决图形和方程之间的关系，由于学生对坐标法还不是很熟悉，学习程度不够深，理解起来有一定的难度，学生对数形结合应用不够灵活，教学时要分析到位，用启发式教学，通过具体实例，采用特殊到一般，由具体到抽象的认知方式。

1、掌握圆的一般方程及其特点。

知识与能2、会将圆的一般方程化为标准方程，并能熟练指出圆心力目标

位置和半经

通过本节课的学习,体验圆的标准方程与一般方程的互化教材分析

学情分析

教学目标

过程与方过程,学会数性结合辩证思维能力,和运用数学概念进行法目标

判断推理的能力养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,领会数性结合分类讨论的数学思想. 情感态度通过本节课的学习,有利于培养学生和同伴交流合作的能与价值观力以及在学习中不断反思，形成勤于思考善于思考的能目标

力. 1、

圆的一般方程的代数特征; 2、一般方程与标准方程间的互化; 3、根据已知条件确定方程中的系数D、E、F.

1、待定系数法求圆的一般方程 2、初步运用圆的方程解决某些实际问题

教学重难点

重点

难点

教学策略与

设计说明

(1)概念的引入按照学生的认知规律:由特殊到一般,由形及数,使学生对概念的理解先建立一个感性认识,再引导用数学语言严谨表达. (2)通过组织典型例题和设置相应题组练习,使学生提高归纳能力和强化应用意识. 教学过程

教学环节（注明每个环节预设的时间）

情景导入

标和半径

学生回答问题

1、复习圆的标准方程及圆心坐

通过引领学生复习圆的标准方程，为引出圆的一般方程做准备，同时让学生体会圆的一般方程是标准方程展开式

1、使新知识建立在学生已有的知识之上，是旧知教师活动

学生活动

设计意图

(xa)2(xb)2r2，

其中圆心的坐标和半径各是什么？

圆心坐标（a,b);半径：r. 4分钟

222方程(x-2)+(y+3)=4

的圆心坐标和半径分别是什么？

将方程展开化简后是什么形式？

学生回答

（学生回答问题，给出幻灯片）

任何一个圆标准的方程都可以化

22为x+y+Dx+Ey+F=0的形式。反

之呢？

（3）x2y22x4y60

探究

(1)xy2x4y10

22

（2）x2y22x4y50

识的应用与延伸

学生讨论2、突破教学难点：形如教师巡视

2xy2DxEyF0

的方程在什么条件下表示圆

3、从特殊到一般，由具体到抽象

利用配方的方法可以变成圆的学生回答

标准方程吗？为什么？

探究：

培养学生分析、归纳总结能力

方程x2y2DxEyF0

在什么条件下表示圆？

22xyDxEyF0配方

得

22

D2EDE4F(x)(y)2.

224

(1)当D2+E2-4F>0时,与圆的

10分钟

标准方程作比较,可看出方程教师引DE表示以( ,)为圆心, 导，学生

2

21

共同参与D2E24F为半径的2

归纳

圆;

22(2)当D+E-4F=0时,方程只

DE有一个解 x,y,

22

DE它表示一个点

(,).

22

(3)当D2+E2-4F<0时,方程没

有实数解,它不表示任何图形.

22因此,当D+E-4F>0

时,x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个

圆,叫做圆的一般方程

2圆的一般方程的特点:

x

和y2

的系数相同,没有xy这

样的二次项,圆的一般方程中有三个待定系数D、E、F,因此

只要求出这三个系数,圆的方

程就明确了;圆的一般方程是

一种特殊的二元二次方程。

圆的一般方程化为标准方程有哪学生讨论

些方法？

回答

即时训练

方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0

表示圆，则a的取值范围是

( D )

2

A.a＜-2或

a 3

利用配方或者公式，加深学生对圆的一般式方程的理解，同时，学生通过训练能熟练将一般式方程化为标准方程，找到圆心坐标和半径

5分钟

8分钟

2＜a＜0 3C.-2＜a＜0 B.-

D.-2＜a＜

例1下列方程各表示什么图形

（1）

x2+y2=0 (2) x2+y2

-2x+4y-6=0 (3) x2+y2

+2ax-b2=0 【变式练习】

已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心为(-2,3)，半径为4，则

D= 4 ,

E=-6,

F=-3

例2求过三点的圆的方程过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标. 分析:确定圆的一般方程,只通过具体实例引出待定系数法，先启发学生用一

教师启般式方程求解，提出问题，如何用标准方程求发，学生解，通过对比，让学生体自己动手会待定系数法的实质。通过计算，培养学生的计算计算

能力及计算技巧。教师分

析启发过程中，分析每一

个条件的用途，培养学生

分析问题解决问题的能力

要确定方程中三个常数D,E,F,为

此,用待定系数法.:设所求的圆的22

方程为x+y+Dx+Ey+F=0

因为

O,M1,M2在圆上,所以它们的坐

标是方程的解.把它们的坐标依

次代入上面的方程,于是,得到所

3分钟

求圆的方

程:x2+y2-8x+6y=0.

由前面的讨论可知,所求的圆的

6分钟

6分钟

半径

,圆心坐标是(4,-3). 思考:本题能否利用圆的标准方程求解?有无其他方法?

学生利用自己画的图像回答问题

教师采用启发式教学，给出【变式练习】

△ABC的三个顶点A(1，4)，B(-2，3)，C(4，-5)，则△ABC解答过程

的外接圆方程是

_____________

学生训练

坐标是（4，3），端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB中点M的轨迹方程

【变式练习】

动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( )

A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1

C.(2x-3)2+4y2=1 31D.(x+ )2+y2=

22

例3已知线段AB的端点B的由于学生对坐标法及曲线方程还不是很熟悉，利用数形结合，帮助学生对求轨迹方程问题的理解

涉及到利用待定系数法求圆的方程，坐标法求轨迹方程。目的是帮助学生对课堂知识的巩固。

例3的设计意图;由于学生对坐标法及曲线方程还不是很熟悉，利用数形结合，帮助学生对求轨迹方程问题的理解

课堂小本节课我们重点学习了圆的一般方程的形式，以及利用待定系数法求圆的方程，通过本节学习增强数形结合的意识与能力，学会从感性结

到理性，从具体到抽象的研究问题的方法。知识体系见幻灯片

2分钟

1. 求经过三点A(-1,5),B(5,5),C(6,2)的圆的方程.

2. 求过两点A(3,1),B(-1,3)且圆心在直线3x-y-2=0上的圆的方程. 3圆x2y24x12y390关于直线3x4y50的对称圆方程 4．已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x1)2y24上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．

圆的一般方程

1、 圆的一般方程x2y2DxEyF0（ D2+E2-4F>0）

DE1(,)D2E24F

圆心坐标 半径

222

2、例1（幻灯片）

布置作业

1分钟

板书3、例2求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半设计

径和圆心坐标. 4、例3已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB中点M的轨迹方程

这节课重点研究了圆方程的一般式,突出了利用待定系数法、坐标法来确定圆的方程,.由于初中几何中研究这些知识较多,所以对这些教学内容的探究放手于学生,对学生能力的培养与锻炼大有好处.此外,例题和练习的选取由浅入深，完整，全面。鼓励学生参与到教学活动中反思

去，在教师的引导下，发现问题，解决问题，让学生亲身体验知识的形成过程，增强他们学习自信心，体现学生是课堂的主体教学模式。不足之处在课堂容量比较大，学生练习时间比较仓促。