探究与发现 子集的个数有多少教学实录

两个基本计数原理的教学设计

栾城区第二中学

武会清

一、地位作用

计数原理是数学中的一个重要的研究对象，本章所学的排列组合是组合数学的初步知识，这种以计数为特征的内容在中学数学中是较为独特的，它不仅影响广泛，是学习统计概率以及高等数学有关分支的准备知识，而且由于它的思想方法灵活独特，也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。本节课讲的两个基本计数原理是计数原理这一章的重点内容，它们不仅是推导排列数组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法贯穿在解决本章应用问题的始终。从思想方法的角度看，两个原理一个是将问题进行分类处理，另一个是将问题进行分步处理，从而达到分解问题、解决问题的目的。因此对两个原理的理解掌握和运用，成为本章内容的一个关键。

二、教学目标

引导学生通过典型的、学生熟悉的实例归纳地得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，初步学会区分“分类”和“分步”,能够用两个计数原理解决简单的计数问题。通过例题引导学生体会计数原理的基本思想及应用方法。

正确理解和掌握加法原理和乘法原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，体会理论来源于实践井应用于实践的辩证唯物主义观点.从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力。

三、内容分析

分类计数原理和分步计数原理都是设计完成一件事的不同方法的总数，它们的区别在于分类计数原理是将办事方法分为若干类，每一类方法之间是相互独立的，用任一种方法都可以完成这件事情；而分步计数原理是将办事方法分成若干步进行，各个步骤相互依存，必须是各个步骤都完成了，这件事情才完成。因此，分辨清楚办事方法是分类还是分步，是科学使用两个原理的前提，也是本节课的一个难点。

四、教学过程

一、复习回顾

⑴分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2中不同的方法，…，在第n类方式中有mn中不同的方法，那么完成这件事共有N = m1 + m2 + … + mn种不同的方法．

要点分析：（1）分类；（2）相互独立；（3）N = m1 + m2 + … + mn（各类方法之和）．

⑵分步技术原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N = m1 × m2 ×

…

× mn种不同的方法．

要点分析：（1）分步；（2）每步缺一不可，依次完成；（3）N = m1 × m2 ×

…

× mn（各步方法之积）．

⑶两种基本计数原理的区别与联系：（见下表）

二

讲授新课

（1）列举法计数

例1 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和U盘，根据需要，软件至少买3盒，U盘至少买2个，则不同的选购方式有 7 种．

注明：本题可以列树状图．

（2）合理分类，运用分类加法计数原理计数

例2等腰三角形的三边均为正整数，且其周长不大于10，这样的不同形状的三角形的种数为10 种．

注明：注意到边长为正整数，周长不大于10，且任意两边之和大于第三边．按腰长分类，再分类计数，防止重复或遗漏．

（3）巧妙分步，运用分步乘法计数原理计数

例3 3个班分别从5个风景点中选择一处游览，有多少种选法？

注明：1.此题入手应分步还是分类？

2.若分步以班为分布标准还是以风景点为分步标准？

答案 125种

（4）综合运用两个计数原理

例4 现有高一年级某班三个组学生24人，其中第一、二、三组各7人、8人、9人，他们自愿组成数学兴趣小组．

（1）选其中1人为负责人，有多少种不同的选法？

（2）每组选1名组长，有多少种不同的选法？

（3）推选2人作代表发言，这2人需来自不同的组，有多少中不同的选法？

注明：计数关键在于不重复不遗漏，我们常用分类或分步的方法将较复杂的问题分解成若干较简单的问题．

答案：（1）24种；（2）504种；（3）191种．

例5 在3000至8000之间有多少个无重复数字的奇数？

注明：解决本题，容易得到以下错解：“分三步完成，先排首位有5种方法，再排个位有5种方法，最后排中间两位有8×7种方法，所以共有5×5×8×7 = 1400（个）．”产生以上错解的原因是：由题意，3、5、7这三个数既可以排在首位，也可以排在个位，因而首位与个位有可能重复．实际上，当首位为3、5、7时，末位只有4种方法．因此，首位是用3、5、7，还是用4、6，影响到第二步，即填个位的方法数，遇到此类情形，则要分类处理．

答案：1232（个）．

三、课堂训练

（1）课本P8页练习1～7；

四、课堂总结

解决计数问题必须审清：做什么“事”？怎样才算“完成”？采用何种“方式”完成？若采用“分类”的方式完成，则需遵循同一个分类标准，以防重漏现象的发生；若采用“分步”的方式，则需按这件事发展的连续过程分层次进行，若某一步中的每一种方法对其下一步中的方法数产生了不同的影响，则需采取先分类后分步的方式来协调．

五、布置作业

习题1.1第11～16题