3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义优秀课堂实录

§3.2

复数代数形式的四则运算

3.2.1

复数代数形式的加减运算及其几何意义

学习目标

1.理解并掌握复数代数形式的加减运算法则.2.了解复数代数形式的加法、减法的几何意义，掌握不同数集中加减运算法则的联系与区别.3.在研究复数代数形式的加法、减法的几何意义时，充分利用向量加法、减法的性质．

知识点一

复数代数形式的加减法

思考1

类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？

答案

两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i. 思考2

若复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2?

答案

不能，如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比较大小．

梳理

(1)运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i. (2)加法运算律

对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

知识点二

复数加减法的几何意义

思考1

复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？

→→答案

如图，设OZ1，OZ2分别与复数a＋bi，c＋di对应，

→→则OZ1＝(a，b)，OZ2＝(c，d)，

→→由平面向量的坐标运算，得OZ1＋OZ2＝(a＋c，b＋d)，

→→所以OZ1＋OZ2与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行．

思考2

怎样作出与复数z1－z2对应的向量？

答案

z1－z2可以看作z1＋(－z2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按→→照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量(如图)．图中OZ1对应复数z1，OZ2对―――→应复数z2，则Z2Z1对应复数z1－z2.

梳理

复数加法的几何意义

→→复数z1＋z2是以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的→对角线OZ所对应的复数

→→复数z1－z2是从向量OZ2的终点指向向量OZ1的终→点的向量Z2Z1所对应的复数

复数减法的几何意义

1．两个虚数的和或差可能是实数．(

√

) 2．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(

√

) 3．复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．(

×

)

类型一

复数的加、减法运算

112－i＋－2i；

例1

计算：(1)22(2)(3＋2i)＋(3－2)i；

(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．

考点

复数的加减运算法则

题点

复数加减法的综合应用

11552＋－＋2i＝－i. 解

(1)原式＝2222(2)(3＋2i)＋(3－2)i＝3＋(2＋3－2)i＝3＋3i. (3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i.

反思与感悟

(1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．

(2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设z＝x＋yi(x，y∈R)．

跟踪训练1

(1)若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝________. (2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝________(a，b∈R)．

(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，则z＝________. 考点

复数的加减运算法则

题点

复数加减法的综合应用

答案

(1)6－2i

(2)－a＋(4b－3)i

(3)－4＋3i 解析

(1)∵z＋i－3＝3－i，∴z＝6－2i. (2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i ＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i. (3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，|z|＝x2＋y2，

∴|z|＋z＝(x2＋y2＋x)＋yi＝1＋3i，

x2＋y2＋x＝1，x＝－4，∴解得

y＝3，y＝3，

∴z＝－4＋3i. 类型二

复数加、减法的几何意义

例2

已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i. (1)求z1－z2；

(2)在复平面内作出z1－z2的运算结果所对应的向量．

考点

复数的加减运算法则

题点

复数加减法与向量的对应

解

(1)z1－z2＝(－2＋i)－(－1＋2i)＝－1－i. →(2)在复平面内作z1－z2的运算结果所对应的向量，如图中所示的OZ.

反思与感悟

复数的减法可以用向量来运算，同样可以运用平行四边形法则和三角形法则进行运算．

跟踪训练2

已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1在复平面内对应的点位于(

) A．第一象限

C．第三象限

考点

复数的加减法运算法则

B．第二象限

D．第四象限

题点

复数加减法与点的对应

答案

C 解析

z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i，

故复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－3)，故选C. 类型三

复数加、减法及其几何意义的综合运用

例3

已知复数z的模为2，求复数1＋3i＋z的模的最大值、最小值．

考点

复数加减法的几何意义的应用

题点

与加减法几何意义有关的模的最值问题

解

由已知得，在复平面内复数z对应的点Z在以原点为圆心，半径为2的圆上．

设w＝1＋3i＋z，∴z＝w－1－3i，

∴|z|＝|w－(1＋3i)|＝2，

∴在复平面内复数w对应的点在以(1，3)为圆心，半径为2的圆上，且该圆过点(0,0)，

故|1＋3i＋z|max＝4，|1＋3i＋z|min＝0. 反思与感悟

在复平面内，任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去→→起点所对应的复数所得的差，即AB所对应的复数是zB－zA，BA所对应的复数是zA－zB，不可把被减数与减数弄错．

跟踪训练3

在平行四边形ABCD中，点A，B，C对应的复数分别为4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是(

) A．2－3i

C．4－8i

考点

复数的加减法运算法则

题点

复数加减法与点的对应

答案

C →解析

AB对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i. →设点D对应的复数为z，则DC对应的复数为(3－5i)－z. →→又AB＝DC，∴－1＋3i＝(3－5i)－z，

∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i. B．4＋8i D．1＋4i

1．计算(3＋i)－(2＋i)的结果为(

) A．1

C．5＋2i

B．－i D．1－i

考点

复数的加减法运算法则

题点

复数加减法的运算法则

答案

A 解析

(3＋i)－(2＋i)＝1. →→→→2．在复平面内，向量OZ1对应的复数是5－4i，向量OZ2对应的复数是－5＋4i，则OZ1＋OZ2对应的复数是(

) A．－10＋8i

C．0

考点

复数的加减法运算法则

题点

复数加减法与向量的对应

答案

C →→解析

OZ1＋OZ2＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，

→→故OZ1＋OZ2对应的复数为0. 3．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝22，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|等于(

) 1A．1

B.

C．2

D．22 2考点

复数的加减法运算法则

题点

复数加减法的综合应用

答案

D 解析

由复数加法、减法的几何意义知，在复平面内，以z1，z2所对应的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝22. 4．若z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，x2，y1，y2∈R)，则|z2－z1|＝________. 考点

复数的加减法运算法则

题点

复数加减法的综合应用

答案

x2－x12＋y2－y12

B．10－8i D．10＋8i 解析

∵z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，

∴z2－z1＝(x2－x1)＋(y2－y1)i，

∴|z2－z1|＝x2－x12＋y2－y12. 5．若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则2z1＝________. 考点

复数的加减法运算法则

题点

复数加减法的运算法则

答案

8＋2i 解析

两式相加得2z1＝8＋2i.

1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．

2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．