1.3 二项式定理（通用）教学设计内容推荐

1．3.1

二项式定理

学习目标

1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

知识点

二项式定理及其相关概念

思考1

我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式．

思考2

上述两个等式的右侧有何特点？

思考3

能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？

梳理

二项式定理

二项式系数

通项

二项式定理的特例

n1n1nkkn公式(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnna＋Cnananb，称为二项式定理

－－Ckn(k＝0,1，…，n) nkkTk＋1＝Ckb

na－012kknn(1＋x)n＝Cn＋Cnx＋C2nx＋…＋Cnx＋…＋Cnx

类型一

二项式定理的正用、逆用

例1

(1)求(3x＋

n1n1n2nk(2)化简：C0＋C2－…＋(－1)kCk＋…＋(－1)nCnn(x＋1)－Cn(x＋1)n(x＋1)n(x＋1)n. －－－14)的展开式．

x

引申探究

1将例1(1)改为求(2x－2)5的展开式．

x

反思与感悟

(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．

跟踪训练1

化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.

类型二

二项展开式通项的应用

命题角度1

二项式系数与项的系数

2例2

已知二项式(3x－)10. 3x(1)求展开式第4项的二项式系数；

(2)求展开式第4项的系数；

(3)求第4项．

反思与感悟

(1)二项式系数都是组合数Ckn(k∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．

7(2)第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为Ckn.例如，在(1＋2x)的展开式中，第四项7333是T4＝C3(2x)3，其二项式系数是C7＝35，而第四项的系数是C37172＝280. －2x－n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162. 跟踪训练2

已知x(1)求n的值；

(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．

命题角度2

展开式中的特定项

33n的展开式中，第6项为常数项．

x－例3

已知在3x(1)求n；

(2)求含x2的项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项．

反思与感悟

(1)求二项展开式的特定项的常见题型

1n①求第k项，Tk＝Ckna－－k＋1bk1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项．

－(2)求二项展开式的特定项的常用方法

①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；

②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；

③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．

ax－9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________. 跟踪训练3

(1)若x

2(2)已知n为等差数列－4，－2,0，…的第六项，则(x＋)n的二项展开式的常数项是________．

x

1．(x＋2)8的展开式中x6的系数是(

) A．28

B．56

C．112

D．224 2．二项式(x＋2x)12的展开式中的常数项是(

) A．第7项

B．第8项

C．第9项

D．第10项

33．已知ax－x5的展开式中含x2的项的系数为30，则a等于(

) A.3

B．－3

C．6

D．－6 4．化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＋1＝________. 5．求(x＋1x)4的展开式．

1．注意区分项的二项式系数与系数的概念．

2．要牢记Ckn－nakbk是展开式的第k＋1项，不要误认为是第k项．

3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值．

课时作业

一、选择题

1．S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S等于(

) A．x4

B．x4＋1 C．(x－2)4

D．x4＋4 2．设i为虚数单位，则(1＋i)6展开式中的第三项为(

) A．－20i

B．15i

C．20

D．－15 3．(1－x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为(

) A．190

B．380

C．－190

D．0 4．在(x＋2x)n的展开式中，若常数项为60，则n等于(

) A．3

B．6

C．9

D．12 5．在(x－13)24的二项展开式中，x的幂指数是整数的项共有(

) xA．3项

B．4项

C．5项

D．6项

6．在(ax＋1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数和x5的系数的等比中项，则实数a的值为(

)

254255A.

B.

C.

D.

95331x－4，x<0，7．设函数f(x)＝x则当x>0时，f(f(x))表达式的展开式中常数项为(

) －x，x≥0，A．4

B．6

C．8

D．10 二、填空题

12x＋27的展开式中倒数第三项为________．

8.x9．若(x＋1)n＝xn＋…＋ax3＋bx2＋nx＋1(n∈N*)，且a∶b＝3∶1，那么n＝________. 410．在(x＋3y)20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．

11．已知正实数m，若x10＝a0＋a1(m－x)＋a2(m－x)2＋…＋a10(m－x)10，其中a8＝180，则m的值为________．

三、解答题

1n312．已知在(x－)的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14∶3. 32x(1)求n；

(2)求展开式中所有的有理项．

110213．已知二项式x＋. 2x(1)求展开式中的第5项；

(2)求展开式中的常数项．

四、探究与拓展

x1＋n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai) (i＝0,1,2)的位置如图14．设a≠0，n是大于1的自然数，a所示，则a＝________.

15．设f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中含x项的系数是19(m，n∈N*)．

(1)求f(x)的展开式中含x2项的系数的最小值；

(2)当f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值时，求f(x)的展开式中含x7项的系数．