2.2.1 综合法和分析法教案教学设计

2.2

直接证明与间接证明

2.2.1

综合法和分析法

教学目标

1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.

2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.

综合法和分析法

综合法

利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推定义

理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法

P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→框图

表示

→…→Qn⇒Q

(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)

特点

顺推证法或由因导果法

逆推证法或执果索因法

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法.(

) (2)分析法就是从结论推向已知.(

) (3)分析法与综合法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，过程相逆.(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)√

2.在△ABC中，sin Asin C＜cos Acos C，则△ABC一定是(

) A．锐角三角形

C．钝角三角形

答案：C 3.欲证

2－3＜6－7，只需证明(

) A．(2－3)2＜(6－7)2

B．(2－6)2＜(3－7)2

B．直角三角形

D．不确定

得到一个明显

成立的条件(Q表示要证明的结论)

分析法

从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法

C．(2＋7)2＜(6＋3)2

D．(2－3－6)2＜(－7)2

答案：C 4.函数f(x)＝ax＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是______. 答案：(0，＋∞)

综合法的应用

(2016·高考北京卷节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.

(1)求证：DC⊥平面PAC. (2)求证：平面PAB⊥平面PAC. 【证明】

(1)因为PC⊥平面ABCD，

所以PC⊥DC.

又因为DC⊥AC，

且PC∩AC＝C，

所以DC⊥平面PAC.

(2)因为AB∥DC，DC⊥AC，

所以AB⊥AC.

因为PC⊥平面ABCD，

所以PC⊥AB.

又因为PC∩AC＝C，

所以AB⊥平面PAC.

又AB⊂平面PAB，

所以平面PAB⊥平面PAC.

综合法证明问题的步骤

1.已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc. 证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc，

又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.

因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.

2.求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β). 证明：因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β)

＝sin[(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β)

＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β)

＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α

＝sin[(α＋β)－α]＝sin β.

所以原命题成立.

分析法的应用

已知△ABC三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B为锐角. 【证明】

要证B为锐角，根据余弦定理，

a2＋c2－b2只需证明cos B＝＞0，

2ac即证a2＋c2－b2＞0.

由于a2＋c2－b2≥2ac－b2，

要证a2＋c2－b2＞0，

只需证2ac－b2＞0.

因为a，b，c的倒数成等差数列，

112所以＋＝，即2ac＝b(a＋c).

acb要证2ac－b2＞0，

只需证b(a＋c)－b2＞0，

即b(a＋c－b)＞0，

上述不等式显然成立，所以B为锐角.

分析法证明数学问题的方法

|a|＋|b|

已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤

2. |a＋b|证明：a⊥b⇔a·b＝0，要证|a|＋|b|≤

2，

|a＋b|只需证|a|＋|b|≤

2|a＋b|，

只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，

只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，

只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，

即证(|a|－|b|)2≥0，

上式显然成立，

故原不等式得证.

综合法和分析法的综合应用

△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其对边分别为a，b，c.求证：(a＋b)－1＋(b＋c)1＝3(a＋b＋c)1. －－【证明】

法一：要证(a＋b)1＋(b＋c)1＝3(a＋b＋c)1，

－－－113即证＋＝，

a＋bb＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c即证＋＝3，

a＋bb＋cca即证＋＝1.

a＋bb＋c只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，

只需证c2＋a2＝ac＋b2.

因为△ABC三个内角A，B，C成等差数列，

所以B＝60°.

由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos 60°，

即b2＝c2＋a2－ac，c2＋a2＝ac＋b2，

此式即分析中欲证之等式，所以原式得证.

法二：因为△ABC三个内角A，B，C成等差数列，

所以B＝60°.

由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos 60°，

得c2＋a2＝ac＋b2，

两边同时加ab＋bc，得

c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，

两边同时除以(a＋b)(b＋c)，

得ca＋＝1，

a＋bb＋cca所以a＋b＋1＋b＋c＋1＝3，

113所以＋＝，

a＋bb＋ca＋b＋c所以(a＋b)1＋(b＋c)1＝3(a＋b＋c)1. －－－

分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推，分析法容易探路，综合法条理清晰，易于表达，但思路不太好想，因此在选择证明方法时，一定要有“综合性选取”意识，明确数学证明方法不是孤立的，应当善于将两种不同的证明方法结合在一起运用.

1.设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2. 证明：法一：(分析法)

要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立，

即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立.

又因a＋b＞0，

故只需证a2－ab＋b2＞ab成立，

即需证a2－2ab＋b2＞0成立，

即需证(a－b)2＞0成立.

而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立.

由此不等式得证.

法二：(综合法)

a≠b⇔a－b≠0⇔(a－b)2＞0⇔a2－2ab＋b2＞0⇔a2－ab＋b2＞ab.

因为a＞0，b＞0，

所以a＋b＞0，

所以(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b).

所以a3＋b3＞a2b＋ab2.

2.在某两个正数x，y之间插入一个数a，使x，a，y成等差数列，插入两数b，c，使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1). 2a＝x＋y，2b2c2证明：由已知得b＝cx，所以x＝，y＝，

cb2c＝by，b2c2即x＋y＝＋，

cbb2c2从而2a＝＋.

cb要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，

只需证a＋1≥(b＋1)(c＋1)成立.

(b＋1)＋(c＋1)只需证a＋1≥即可.

2b2c2也就是证2a≥b＋c.而2a＝＋，

cbb2c2则只需证＋≥b＋c成立即可，

cb即证b3＋c3＝(b＋c)(b2－bc＋c2)≥(b＋c)bc，

即证b2＋c2－bc≥bc，

即证(b－c)2≥0成立，

上式显然成立，

所以(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1).

综合法、分析法的区别与联系

(1)区别

解题思路

表述形式

思考的侧重点

综合法

探路较难，易生枝节

形式简洁，条理清晰(优点) 侧重于已知条件提供的信息

分析法

容易探路，利于思考(优点) 叙述烦琐，易出错

侧重于结论提供的信息

(2)联系：分析法便于我们去寻找证明思路，而综合法便于证明过程的叙述，两种方法各有所长，因而在解决问题时，常先用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理地表达证明过程，将两种方法结合起来运用，其思维模式框图为

1.命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明过程为：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”，其应用了(

) A．分析法

B．综合法

C．综合法、分析法综合使用

D．类比法

解析：选B．从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路.

2.A，B为△ABC的内角，A＞B是sin A＞sin B的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C．若A＞B，则a＞b.

又ab＝，所以sin A＞sin B.

sin Asin B若sin A＞sin B，则由正弦定理得a＞b，

所以A＞B.

ac3.设a，b，c成等比数列，而x，y分别是a，b和b，c的等差中项，求证：＋＝2. xya＋bb＋cb2证明：由题知c＝，x＝，y＝，

a22acac2a2c则＋＝＋＝＋

xya＋bb＋ca＋bb＋c22b22×a2a2a2b＝＋＋＝2，

2＝ba＋ba＋ba＋bb＋aac即＋＝2.

xy4.设a，b为实数，求证：

证明：当a＋b≤0时，因为

所以

a2＋b2≥a2＋b2≥2(a＋b). 2a2＋b2≥0，

2(a＋b)成立.

2当a＋b＞0时，用分析法证明如下：

要证

a2＋b2≥22(a＋b)，

222只需证(a＋b)≥，

2(a＋b)221即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab).

2即证a2＋b2≥2ab.

因为a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立.

所以a2＋b2≥2(a＋b)成立.

2综上所述，不等式成立.