三 反证法与放缩法教学实录及点评

第三节

放缩法（教案）

知识梳理

1.放缩法

证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值_________或_________,简化不等式,从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法. 知识导学

1.放缩法多借助于一个或多个中间量进行放大或缩小,如欲证A≥B,需通过B≤B1,B1≤B2≤…≤Bi≤A(或A≥A1,A1≥A2≥…≥Ai≥B)，再利用传递性，达到证明的目的. 疑难突破

1.放缩法的尺度把握等问题

(1)放缩法的理论依据主要有: ①不等式的传递性; ②等量加不等量为不等量; ③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较; ④基本不等式与绝对值不等式的基本性质; ⑤三角函数的有界性等. (2)放缩法使用的主要方法:

放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察.常用的放缩方法有增项,减项,利用分式的性质,利用不等式的性质,利用已知不等式,利用函数的性质进行放缩等.比如: 舍去或加上一些项:(a+1231)+>(a+)2; 242将分子或分母放大(缩小):11111,,22k(k1)kk(k1)kk2kk1,

12(k∈R,k>1)等. kkk1典题精讲

1111≤+…+n<1. 2n1n22111思路分析：要求一个n项分式+…+的范围,它的和又求不出,可以采用“化整n1n22n【例1】

设n是正整数,求证:第

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为零”的方法,观察每一项的范围,再求整体的范围. 证明：由2n≥n+k>n(k=1,2,

…,n),得111. ≤2nnkn111; ≤2nn1n111;; 当k=2时,≤2nn2n当k=1时,……

111, ≤2nn1n1n111n∴=≤+…+<=1. 2nn22nn1n2当k=n时,思路整理：放缩法证明不等式,放缩要适度,否则会陷入困境,例如证明1117111,由,如果从第3项开始放缩,正好可证明;如果从第222224kk1k12n项放缩,可得小于2,当放缩方式不同时,结果也在变化.

放缩法一般包括:用缩小分母,扩大分子,分式值增大；缩小分子,扩大分母,分式值缩小；全量不少于部分.每一次缩小其和变小,但需大于所求;每一次扩大其和变大,但需小于所求.即不能放缩不够或放缩过头,同时要使放缩后便于求和. 【变式训练】

若n∈N+,n≥2,求证：思路分析：利用1111112221. -n2n123n1112进行放缩. k(k1)kk(k1)证明:∵111111

2222334n(n1)23n111111-)+(-)+…+() 33nn12411=-. 2n1=(又111111+…+<

2232n22132n(n1)111111)=1-, )+(-)+…+(n1n223n111111∴-<22+…+2<1-. 2n12n3n=(1【例2】

(经曲回放)求证：|a||b||ab|. 1|a||b|1|ab|第

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思路分析：利用|a+b|≤|a|+|b|进行放缩,但需对a,b的几种情况进行讨论,如a=b=0时等. 证明：若a+b=0或a=b=0时显然成立. 若a+b≠0且a,b不同时为0时, 11|a||b|1. 1左边|a||b||a||b|∵|a+b|≤|a|+|b|,

∴上式≤1+11|ab|. |ab||ab|∴原不等式成立.

思路整理：对含绝对值的不等式的证明，要辨别是否属绝对值不等式的放缩问题，如利用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|进行放缩，此问题我们可以算作放缩问题中的一类. 【变式训练】

已知|x|<,|y|<,|z|<,求证:|x+2y-3z|<ε.

369思路分析：利用|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|进行放缩. 证明:∵|x|<,|y|<,|z|<, 369∴|x+2y-3z|=|1+2y+(-3z)| ≤|x|+|2y|+|-3z|=|x|+2|y|+3|z| <+2×+3×=ε.

369∴原不等式成立. 巩固提高

练习1. 求证：31111112222(n∈N*且n≥2).

2n1n23n思路分析：待证不等式的两端是整式，中间是n个式子的和，利用式子111112对每一个式子作适当的变形，最后各式相加，达到适当放大或kk1kk1k缩小的目的，宜用放缩法. 证明：∵11111112, kk1k(k1)kk(k1)k1k∴111112,分别令k=2,3,4…,n得：

kk1kk1k1111111111111121,2,,2. 232234323nn1nn1n第

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1111112221, 2n12n3n31111112222. ∴2n1n23n1111练习2.

求证：1+<3. 112123123n将这些不等式相加得：思路分析：左边较为复杂，右边为一常数，考虑对一般项进行放缩111k1,再利用等比数列的求和公式，达到证明目的. 123k12222111k1（k是大于2的自然数）证明：由，

123k122221111得1

112123123n11n1111231<3. 1123n11n112222212abc练习3. 已知a,b,c∈R+,且a+b>c,求证:. 1a1b1cx证明:构造函数f(x)=(x∈R+), 1x任取x1,x2∈R+,且x1

f(x1)-f(x2)=x1xx1x2<0, 21x11x2(1x1)(1x2)∴f(x)在(0,+∞)上单调递增. ∵a+b>c,∴f(a+b)>f(c). abc. 1ab1cababab又, 1a1b1ab1ab1ababc∴. 1a1b1c即

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