2.1.2 演绎推理教案设计（一等奖）

知识改变命运，学习成就未来

推理与证明知识回顾

对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力．通过本章的复习，培养推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．

一、推理部分

1．知识结构框图：

2．合情推理：＿＿＿＿与＿＿＿＿统称为合情推理．

①归纳推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

②类比推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

定义特点：归纳推理是由特殊到一般、由具体到抽象的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；两者都能由已知推测、猜想未知，从而推出结论．但是结论的可靠性有待证明．

③推理过程：

从具体问题出发→＿＿＿＿＿＿→归纳类比→＿＿＿＿＿＿．

3．演绎推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；

②学习要点：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；

推理模式：“三段论”：

ⅰ大前提：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

ⅱ小前提：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

ⅲ结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

集合简述：

ⅰ大前提：xM且x具有性质P；

ⅱ小前提：yS且SM；

ⅲ结论：y也具有性质P；

４．合情推理与演绎推理的关系：

①合情推理中的归纳推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；

②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；

二、证明部分

１．知识结构框图

２．综合法与分析法

①综合法:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

②分析法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

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学习要点：在解决问题时，经常把综合法与分析法合起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．

③反证法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

学习要点：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿或＿＿＿＿＿＿等矛盾．

3．数学归纳法

一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：

（1）（归纳奠基）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（2）（归纳递推）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．其证明的方法叫做数学归纳法．

学习要点：理解第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两者缺一不可．特别地，在证明第二步nk1时命题成立，一定要用上归纳假设nk时命题成立；另外在证明第二步时首先要有明确的目标式，即确定证题方向；数学归纳法常和合情推理综合应用，特别常以归纳推理为前提．

三、考查要求

“合情推理”是一种重要的归纳、猜想的推理，它是发现问题和继续推理的基础．逻辑思维能力主要体现为对演绎推理的考查．试卷中考查演绎推理的试题的比例比较大，命题时既考虑使用选择题、填空题的形式进行考查，又考虑如何使用解答题（以证明题的形式）突出进行考查，立体几何是考查演绎推理的最好素材．

数学归纳法很少单独考查，由于数列是和自然数有关的，因此，经常和数列一起考查，常与归纳猜想相结合进行综合考查．

推理与证明复习指导

对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式．通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．

一．推理部分

1．知识结构：

演绎推理

推理

和情推理

类比

2．和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理．

①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．

②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理． 归纳

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③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论．但是结论的可靠性有待证明．

例如：已知f(n)n25n3，可以f(1)10，f(2)30,

f(3)30,f(4)10，于是推出：对入任何nN，都有f(n)0；而这个结论是错误的，显然有当n5时，f(5)30．因此，归纳法得到的结论有待证明．

例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；

类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的”．

类比线与面得到：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的．

④推理过程：

从具体问题出发

观察、分析、比较、联想

归纳、类比

猜想．

3．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）．

①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理； ②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；

推理模式：“三段论”：

ⅰ大前提：已知的一般原理（M是P）；

ⅱ小前提：所研究的特殊情况（S是M）；

ⅲ结论：由一般原理对特殊情况作出判断（S是P）；

集合简述：

ⅰ大前提：xM且x具有性质P；

ⅱ小前提：yS且SM；

ⅲ结论：

y也具有性质P；

例题1．若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1,x2,满足xn，总1f(x1)f(x2)nf(xn)f(x1x2nxn)，称函数f(x)为D上的凸函数；现已知f(x)sinx在(0,)上是凸函数，则ABC中，sinAsinB

解答：由siCn的最大值是

．

1f(x1)f(x2)nf(xn)f(x1x2nxn)（大前提）

因为f(x)sinx在(0,)上是凸函数

（小前提）

得f(A)f(B)f(C)3f(ABC)

（结论）

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即sinAsinBsinC3sin333

233

2

因此，sinAsinBsinC的最大值是 注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型

４．和情推理与演绎推理的关系：

①和情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；

②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；

axaxaxax 例２．设f(x)，g(x)（其中a0且a1）

22

（1）５＝２＋３请你推测g(5)能否用f(2),f(3),g(2),g(3)来表示；

（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广. 解答:（1）由f(3)g(2)g(3)f(2)

a3a3a2a2a3a3a2a2a5a5＝＋＝

22222a5a5

又g(5)＝

2

因此，g(5)＝f(3)g(2)g(3)f(2)

（2）由g(5)＝f(3)g(2)g(3)f(2)

即g(23)＝f(3)g(2)g(3)f(2)

于是推测g(xy)＝f(x)g(y)g(x)f(y)

axaxaxax 证明：因为：f(x)，g(x)（大前提）

22axyaxy所以g(xy)＝， 2ayayayayg(y)＝，f(y)＝，（小前提及结论）

22所以f(x)g(y)g(x)f(y)

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axaxayayaxaxayay＝＋

2222axyaxy ＝＝g(xy) 2 解题评注：此题是一典型的由特殊到一般的推理，构造g(23)＝f(3)g(2)g(3)f(2)是此题的一大难点，要经过观察、分析、比较、联想而得到；从而归纳推出一般结论g(xy)＝f(x)g(y)g(x)f(y)．

二．证明部分

１．知识结构

数学归纳法

综合法

直接证法

分析法

证明

间接证法

反证法

２．综合法与分析法

①综合法；利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过一系列推理论证，推导出所要证明的结论成立．

②分析法：从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止．

③综合应用：在解决问题时，经常把综合法与分析法和起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．

例３．已知：ab0，求证：

(ab)2ab(ab)2ab

8a28b

证明：

因为ab0

(ab)2ab(ab)2ab所以

8a28b(ab)2(ab)22(ab)



4a4b

|ab||ab||ab|

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abab

2abba21

ab

1

ba

1abba成立．

1ab

又由已知ab0，因此，

由于以上分析步步等价，因此步步可逆．故结论成立．

解题评注：(1)以上解答采用恒等变形，其实质从上往下属于分析法，反之属于综合法．

(2)这里表示了ba,(ab0)是结论成立的充要1ab条件,当然找到了结论成立的充分条件就可以了. 例4.求证抛物线y22px(p0)，以过焦点的弦为直径的圆必与xp相切. 2／／y

AM／

证明：（如图）作AA、BB垂直

／ 准线，取AB的中点M，作MM垂直

准线. 要证明以AB为

直径的圆与准线相切

只需证｜MM｜＝／A ／

B／

o

B M F

x

1｜AB｜

2 由抛物线的定义：

／／ ｜AA｜＝｜AF｜，｜BB｜＝｜BF｜

／／ 所以｜AB｜＝｜AA｜＋｜BB｜

因此只需证｜MM｜＝／1／／（｜AA｜＋｜BB｜）

2p相切. 2根据梯形的中位线定理可知上式是成立的. 所以以过焦点的弦为直径的圆必与x以上解法同学们不难以综合法作出解答. 解题评注:分析法是从结论出发寻找证题思路的一种重要的思维方法, 特别是题设和结论相结合,即综合法与分析法相结合,可使很多较为复杂的问题得到解决. 3.数学归纳法

一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：

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（1）（归纳奠基）证明当ｎ取第一个值ｎ0时命题成立；

（2）（归纳递推）假设ｎ＝k（(kn0,kn)时命题成立，证明当nk1

时命题也成立。就可以断定对从ｎ0开始的所有正整数ｎ都成立．其证明的方法叫数学归纳法．

（3）学习要点：理解第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两者缺

一不可．特别地，在证明第二步nk1时命题成立，一定要用上归纳

假设ｎ＝k时命题成立；另外在证明第二步时首先要有明确的目标式，即

确定证题方向；

数学归纳法常和和情推理综合应用，特别常以归纳推理为前提．

例５．已知数列an的前n和为Sn，其中an(1)求a2,a3

(2)猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

解答：（1）a2 又a1Sn1且a1

3n(2n1)S2aa12

2(221)6111，则a2，类似地求得a3

15353111 （2）由a1，a2，a3…

133557 猜得：an1

(2n1)(2n1) 以数学归纳法证明如下：

①当n1时，由（1）可知等式成立；

②假设当nk时猜想成立，即ak1

(2k1)(2k1) 那么，当nk1时，由题设anSn得

n(2n1)akSkSk1，ak1

k(2k1)(k1)(2k1)k1＝

(2k1)(2k1)2k1 所以Skk(2k1)ak＝k(2k1)Sk1(k1)(2k1)ak1

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ak1SK1SK(k1)(2k1)ak1－ 因此，k(2k3)ak1 所以ak1k

2k1k

2k111

(2k1)(2k3)[2(k1)1][2(k1)1] 这就证明了当nk1时命题成立. 由①、②可知命题对任何nN都成立. 解题评注：（1）本题首先采用了归纳推理，即由特殊到一般的推理；

（2）解题时注意已知式anSn对任何nN都成立，因此要n(2n1)注意其变形应用；归纳假设已用上，在上面的横线处，是解题关键的一步. 三．高考要求

高考强调对数学思维能力的考查，“和情推理”是一种重要的归纳、猜想推理，它是发现问题和继续推理的基础.逻辑思维能力主要体现在对演绎推理的考察.试卷中考查演绎推理的试题的比例比较大，命题时既考虑使用选择题、填空题的形式进行考察，又考虑如何使用解答题型，以证明题的形式突出进行考察，立体几何是考察演绎推理的最好教材. 近几年数学归纳法很少单独考察，由于数列是和自然数有关的，因此，经常和数列一起考察，常与归纳猜想相结合进行综合考察.

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