3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义第二课时教学设计

3．2.1

复数代数形式的加减运算及其几何意义

学习目标

1.熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．

知识点一

复数代数形式的加减法

思考

类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？

梳理

(1)运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝________________，(a＋bi)－(c＋di)＝________________. (2)加法运算律

对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝__________________，(z1＋z2)＋z3＝__________________. 知识点二

复数加减法的几何意义

思考1

复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？

思考2

怎样作出与复数z1－z2对应的向量？

梳理

→→复数z1＋z2是以OZ1，OZ2为邻边复数加法的几何意义

→的平行四边形的对角线OZ所对应的复数

→复数z1－z2是从向量OZ2的终点复数减法的几何意义

→→指向向量OZ1的终点的向量Z2Z1所对应的复数

类型一

复数的加法、减法运算

例1

(1)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，复数z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝________. (2)已知复数z满足|z|i＋z＝1＋3i，则z＝________. 反思与感悟

(1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．

(2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设z＝x＋yi(x，y∈R)．

跟踪训练1

(1)若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝________. (2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝________(a，b∈R)．

(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，则z＝________. 类型二

复数加、减法的几何意义

例2

(1)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，3＋2i，－2→→→＋4i.求：①AO表示的复数；②CA表示的复数；③OB表示的复数．

(2)已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝3，求|z1－z2|.

引申探究

若将本例2(2)中的条件“|z1＋z2|＝3”改为“|z1－z2|＝1”，求|z1＋z2|.

反思与感悟

(1)技巧：

①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理；

②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．

(2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则：

①四边形OACB为平行四边形；

②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；

③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；

④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．

→→→跟踪训练2

(1)已知复平面内的平面向量OA，AB表示的复数分别是－2＋i,3＋2i，则|OB|＝________. (2)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限上，则实数a的取值范围是__________．

131．已知复数z1＝－i和复数z2＝cos 60°＋isin 60°，则z1＋z2等于(

) 22A．1

13C.－i

22B．－1 13D.＋i 222．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于(

) A．第一象限

C．第三象限

B．第二象限

D．第四象限

→→→→3．在复平面内，O是原点，OA，OC，AB表示的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，则BC表

示的复数为(

) A．2＋8i

C．4－4i

B．－6－6i D．－4＋2i 4．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________. 5．设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3＋2i和2－4i，则点C对应的复数是__________．

1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．

2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．

答案精析

问题导学

知识点一

思考

两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i. 梳理

(1)(a＋c)＋(b＋d)i

(a－c)＋(b－d)i

(2)z2＋z1

z1＋(z2＋z3) 知识点二

→→思考1

如图，设OZ1，OZ2分别与复数a＋bi，c＋di对应，

→→则OZ1＝(a，b)，OZ2＝(c，d)，

→→由平面向量的坐标运算，得OZ1＋OZ2＝(a＋c，b＋d)，

→→所以OZ1＋OZ2与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行．

思考2

z1－z2可以看作z1＋(－z2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可→以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量(如图)．图中OZ1对应复数z1，→→OZ2对应复数z2，则Z2Z1对应复数z1－z2.

题型探究

4例1

(1)－1

(2)1＋i 3解析

(1)z1＋z2＝(2＋i)＋(3＋ai)＝5＋(a＋1)i，由题意得a＋1＝0，则a＝－1. (2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝x2＋y2，

∴|z|i＋z＝x2＋y2i＋x＋yi＝x＋(x2＋y2＋y)i ＝1＋3i，

x＝1，x＝1，∴22解得4

y＝，x＋y＋y＝3，3

4∴z＝1＋i. 3跟踪训练1

(1)6－2i

(2)－a＋(4b－3)i

(3)－4＋3i 解析

(1)∵z＋i－3＝3－i，∴z＝6－2i. (2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i ＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i. (3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，|z|＝x2＋y2，

∴|z|＋z＝(x2＋y2＋x)＋yi＝1＋3i，

x2＋y2＋x＝1，x＝－4，∴解得

y＝3，y＝3，

∴z＝－4＋3i. 例2

(1)解

因为A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i，

→→由复数的几何意义，知OA与OC表示的复数分别为3＋2i，－2＋4i. →→→①因为AO＝－OA，所以AO表示的复数为－3－2i. →→→②因为CA＝OA－OC，

→所以CA表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. →→→③OB＝OA＋OC，

→所以OB表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. →→(2)解

根据复数加减法的几何意义，由|z1|＝|z2|知，以OA，OB为邻边的平行四边形OACB是菱形．

→→如图，OA对应的复数为z1，OB对应的复数为z2，

→→→→∴|OA|＝|OB|，OC对应的复数为z1＋z2，∴|OC|＝3. →→→在△AOC中，|OA|＝|AC|＝1，|OC|＝3，∴∠AOC＝30°. 同理得∠BOC＝30°，

→→∴△OAB为等边三角形，则|BA|＝1，BA对应的复数为z1－z2，∴|z1－z2|＝1.

引申探究

→解

如例2(2)图，向量BA表示的复数为z1－z2，

→∴|BA|＝1，

则△AOB为等边三角形，∴∠AOC＝30°，

取AB与OC的交点为D，

3→→→则OD＝，∴|OC|＝3，OC表示的复数为z1＋z2，

2∴|z1＋z2|＝3. 跟踪训练2

(1)10

(2)(－∞，1) →→→解析

(1)∵OB＝OA＋AB，

→∴OB表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，

→∴|OB|＝12＋32＝10. (2)z2－z1＝1＋(a－1)i，

由题意知a－1<0，即a<1. 当堂训练

1．A

2.D

3.C

4.－1

5.5－2i