1.3 实习作业教学设计实例

专题2. 三角形中的最值、范围

例1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tanAtanB)（Ⅰ）证明：a+b=2c;（Ⅱ）求cosC的最小值. 例2.在ABC中，acb2ac.

（1）求B

的大小；（2）求2cosAcosC

的最大值. 例3.锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，求周长的最大值. 的外接圆半径为，且满足. 222tanAtanB. cosBcosA（1）求角的大小；（2）若C的对边分别为a，b，c，例题4..在ABC中，角A，B，已知向量mcosA,cosB，na,2cb，且m//n．

（1）求角A的大小；（2）若a4，求ABC面积的最大值．

【精选精练】

1.

ABC各角的对应边分别为a,b,c，满足A．(0,bc1，则角A的范围是（ ）

acab] B．(0,] C．[,) D．[,)

36362.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求ACB60，

BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（ ）

3213米

D. 23米

A. 1米

B. 米

C. 2

2223.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足bcabc，ABBC0，a3， 则2b+c的取值范围是（ ）

3313313,1,,,

A.  B. C. D.22222222224.在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c且abcbc，a=3，S为ABC的

1

面积，则S3cosBcosC的最大值为（ ）

（A）1 （B）31 （C）3 （D）3

5.已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边，其面积满足SABC12ca，则的最大值为（ ）

4bA. 21 B. 2 C. 21 D. 22

3c，则ab26.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2ccosB2ab，若ABC的面积为S的最小值为__________．

7.在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是

.

8.在边长为2的正三角形ABC的边AB、AC上分别取M、N两点，点A关于线段MN的对称点A正好落在边BC上，则AM长度的最小值为____．

9. 已知x3是函数fxmsin2xcos2x的图象的一条对称轴. （1）求函数fx的单调递增区间；

（2）设ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若fB2，且b3，求a10. 在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，满足c的取值范围. 2cos2Acos2B2cosBcosB0. 66（1）求角A的值；（2）若b3且ba，求a的取值范围.

2

专题1

三角函数的图象和性质

例1.设函数f(x)2sin(x)，xR，其中0，||.若f(正周期大于2，则( ) （A）

例2.已知函数f(x)sinx3cosx(0)的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于2，

3125)2，f()0，且f(x)的最小88（B）21，

（C），

3123241（D），324

，若将函数2yf(x)的图象向左平移A.(个单位得到函数yg(x)的图象，则yg(x)是减函数的区间为（ ）

6,) B.(,) C.(0,) D.(,0)

444333例3.

函数f(x)=cos(x)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(

) (A)(k(C)(k1313,k),kZ

(B)(2k,2k),kZ

44441313,k),kZ

(D)(2k,2k),kZ

4444

例4. 函数______. 2例5.函数fxsinx3cosx，则函数的最小正周期为____，在内的一条对称轴方程是3（x0,）的最大值是 。

42例6.已知函数f（x）=sinx–cosx–23 sin x cos x（xR）．

22

3

（Ⅰ）求f(

2)的值．（Ⅱ）求f(x)的最小正周期及单调递增区间．

3【精选精练】

1．函数ycos2x的图象的一条对称轴方程是（ ）

2A. x2 B. x4 C. x8 D. x

2．函数y3sin2xcos2x

最小正周期为（

）

A.π2π

B.

C.π

D. 2π

233.已知函数fxsinx(0)fx的最小正周期为，若将函数的图象向右平移个单位，123得到函数gx的图象，则函数gx的解析式为（

）

A. gxsin4x6 B. gxsin4x3 C. gxsin2x D. 6gxsin2x

4.已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π)，则下面结论正确的是

3A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移线C2 π个单位长度，得到曲6π个单位长度，得到12B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的曲线C2

4 1π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到261π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到212

25．函数f(x)2sin(4x)1(xR)是（ ）

A．最小正周期为2的奇函数

B．最小正周期为的奇函数

C．最小正周期为2的偶函数

D．最小正周期为的偶函数

6．设函数f(x)Asin(x)(A0,0,期为，则（ ）

A．f(x)的图象过点(0,)

B．f(x)在2)的图象关于直线x对称,它的最小正周322122,上是减函数

123C．f(x)的一个对称中心是5,0

D．f(x)的一个对称中心是,0

6127.已知fx2sin2x

3，则函数fx的最小正周期为__________；

f__________．

68.函数fxcosx2sinx的最小值为__________．

29.函数ysinx(0,0)的最小正周期为，且函数图象关于点的解析式为__________．

3,0对称，则函数8fxcoswxw0,0的最小正周期为.且10.设函数2（1）求w和的值；

（2）在给定坐标系中作出函数fx在0,上的图象；

（3）若fx3.f42[来源:Zxxk.Com]

2，求x的取值范围. 2

5

11．已知向量：a(2cosx,1)，bcosx,3sin2x，函数f(x)ab. （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）求yfx的对称轴并作出yfx在12．设函数fx2cosxcos3sinx

,的图象．

6xR. （1）求函数yfx的周期和单调递增区间；

（2）当x0,时，求函数fx的最大值. 2专题3

平面向量的数量积、模、夹角

例1. a,b是两个向量，a1,b2且(ab)a，则a与b的夹角为（ ）

A.30 B. 60 C. 120 D. 150

例2.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA(PBPC)的最小值是（ ）

A.2 B.34 C.  D.123[来源:学。科。网]

例3.已知e1,e2是互相垂直的单位向量，若3e1e2与e1e2的夹角为60，则实数的值是 . 例4.在△ABC中，∠A60，AB3，AC2.若BD2DC，AEACAB(R)，且ADAE4，则的值为___________. 例5. 已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b

|= .[来源:学。科。网]

例6.已知向量a，b满足a1,b2,则abab的最小值是________，最大值是_______．

6

【精选精练】

1.设a(1,2)，b(1,1)，cakb．若bc，则实数k的值等于（ ）

A．5533 B． C． D．

3322为单位向量，，则在的投影为（ ）

2.已知A.

B. C. D.

3.如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1＝OAOB·，I2＝OB·OC，I3＝OC·OD，则（ ）

A．I1I2I3

B．I1I3I2

C．I3I1I2

D．I2I1I3

4.已知向量a1,1，

2ab4,2，则向量a,b的夹角的余弦值为（ ）

A. 332210 B. 10 C. D. 

1010225.若非零向量a,b，满足ab，

a2ba0，则a与b的夹角为（ ）

25 B. C. D.

633616. 已知平面向量a，

b夹角为，且a1，

b，则a2b与b的夹角是（ ）

3253A. B. C. D.

6644A.

7. 在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB1，EF2，CD3

7

．若ADBC15，则ACBD ．

DEFCAB

8.已知不共线的平面向量__________．

满足若向量,且,，则9. 已知向量a、b, ｜a｜

=1，｜b｜ =2，若对任意单位向量e，均有

｜a·e｜+｜b·e｜的最大值是 ．

11.已知向量a(cos,sin)，b(1+cos,sin).

（1）若6 ,则a·b，(0,)，且ab，求；

3

（2）若=，求ab的取值范围. 12.已知a,b是两个单位向量．

（1）若3a2b3，试求3ab的值；

（2）若a,b的夹角为60，试求向量m2ab与n2ba的夹角的余弦.

o

8

1.

ABC各角的对应边分别为a,b,c，满足A．(0,bc1，则角A的范围是（ ）

acab] B．(0,] C．[,) D．[,)

3636bc1，得babcacacab，整理得b2c2a2bc，由余弦定acab【答案】A

【解析】由b2c2a2bc1，A0,.

理得cosA2bc2bc232.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求ACB60，

BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（ ）

9

A. 13米

B. 2米

C. 13米

D. 23米

2【答案】D

2223.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足bcabc，ABBC0，a3， 则2b+c的取值范围是（ ）

3313313,,A. 1, B. C. D.,

2222222【答案】B

b2c2a21A=bcabc，则【解析】由得：cosA，由ABBC0可知：B为钝32bc2222角，

2RasinA1，则bsinB,csinC，bcsinBsinCsinBsin(2

3B)=33sinBcosB223sin(B6)，由于2B225B，，所以33661333sin(B)bc，选B

，232222224.在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c且abcbc，a=3，S为ABC的

10

面积，则S3cosBcosC的最大值为（ ）

（A）1 （B）31 （C）3 （D）3

【答案】C

b2c2a212，∴A【解析】∵abcbc，∴cosA，

32bc2222设ABC外接圆的半径为R，则2Ra32，∴R1，

sinAsin23∴S3cosBcosC13bcsinA3cosBcosCbc3cosBcosC

243sinBsinC3cosBcosC3cos(BC)，故S3cosBcosC的最大值为3．故选C．

5.已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边，其面积满足SABC12ca，则的最大值为（ ）

4bA. 21 B. 2 C. 21 D. 22

[来源:学,科,网Z,X,X,K]【答案】C

【解析】根据题意，有SABC121abcsinA，应用余弦定理，可得b2c22bccosA2bcsinA，于42c12．于是2tsinA2tcosAt1，所以22sinAt，从b4t2是t12tcosA2tsinA，其中t而t22，解得t的最大值为21．选C. 1t6.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2ccosB2ab，若ABC的面积为S的最小值为__________．

【答案】12 【解析】由正弦定理可得2sinCcosB2sinAsinB2sinBCsinB，即3c，则ab22sinCcosB2sinBcosC2sinCcosBsinB，∴2sinBcosCsinB0，∴cosC12C，

，23

11

由S1133abcosC，整理可得absinCabc，∴cab，再由余弦定理可得c2a2b222242122aba2b2ab3ab，当且仅当ab时，取等号，∴ab12故答案为12. 47.在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是

.

【答案】（62，6+2）

8.在边长为2的正三角形ABC的边AB、AC上分别取M、N两点，点A关于线段MN的对称点A正好落在边BC上，则AM长度的最小值为____．

【答案】436

【解析】显然A,P两点关于折线MN对称，连接MP，可得AMPM，则有BAPAPM，设BAP，

BMPBAPAPM2，再设AMMPx，则有MB2x，在ABC中，

APB180ABPBAP120，

BPM1202，又MBP60，在BMP中，由正弦定理知2xx23BMMP,x，即，

sinBPMsinMBPsin60sin12022sin12023060,01202120，所以当120290时，即15时，

sin12021，此时x取得最小值2323?23436，且AMN75，则AM的最小值为436，故23

12

答案为436.

9.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量mcosA,cosB，na,2cb，且m//n．

（1）求角A的大小；

（2）若a4，求ABC面积的最大值．

【答案】（1）；（2）43．

3【解析】m//n，所以acosB2cbcosA0，

由正弦定理得sinAcosB2sinCsinBcosA0，

sinAcosBsinBcosA2sinCcosA

sinAB2sinCcosA，由ABC，sinC2sinCcosA

由于0C，因此sinC0，所以cosA1，由于0A，A

23222（2）由余弦定理得abc2bccosA

16b2c2bc2bcbcbc，因此bc16，当且仅当bc4时，等号成立；

因此ABC面积S1bcsinA43，因此ABC面积的最大值43．

210. 已知x3是函数fxmsin2xcos2x的图象的一条对称轴. （1）求函数fx的单调递增区间；

（2）设ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若fB2，且b3，求ac的取值范围. 23,3【答案】（1）k,kkZ（2）

263【解析】试题分析：

（1）x3是函数fx的一条对称轴f22m1或m1

m3

3

13

fx2sin2x，根据三角函数的性质，即可求出单调性；（2）fB2

可得B，又b3，36由正弦定理得：

ac2sinAsin(A+）=3sinA，由236

2A0,333sinA,3，即可求出结果.62[来源:学科网ZXXK]

（2）fB2

sin2B1B

63又b3，由正弦定理得：

a2sinA,c2sinC2sinA

3ac2sinAsin(A+）=3sinA

2362A0,31A,sinA,1

662623c33sinA,3a,3，即

622211. 在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，满足cos2Acos2B2cosBcosB0. 66（1）求角A的值；

14

（2）若b3且ba，求a的取值范围. 【答案】(1) A3；(2) a3,3. 【解析】试题分析：（1）根据余弦的二倍角公式以及两角和与差的余弦公式化简cos2Acos2B2cosBcosB0，可得sinA的值，从而求得A的值；（2）b3a，66∴ca，∴3C2，

6B3，再由正弦定理可得结果. 试题解析：（1）由已知cos2Acos2B2cosBcosB0

663123222sinA2sinB2sinA2cosBsinB0得化简得，又三角形ABC为锐角三角形，故244A3. （2）∵b3a，∴ca，∴3C2，

6B3由正弦定理得：

aba3即：

，sinAsinBsinB32313,3,3. 即a2由sinB知asinB22

15