1.3 二项式定理（通用）第二课时教学设计

《二项式定理（一）》教学设计

一、教学内容解析

《1.3.1二项式定理》是《普通高中课程标准实验教科书-数学》选修2-3第一章第三部分第一节的内容，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。

二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值,不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法，并能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展，它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例，在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用，因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。

教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面各种应用的基础．通项公式，二项式系数的性质，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点。

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。

二、学情分析

学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问题的方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好。本节课二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此

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本堂课采用小组讨论学习，让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。

三、教学目标设置

1.知识技能目标

（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广。

（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理。

（3）掌握对简单的二项式进行展开，能够对项的系数与二项式系数进行区分，并能求出指定项。

2.过程与方法目标

通过学生经历二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会归纳－猜想－论证的思想方法,发展探究能力。

3.情感、态度、价值观目标

培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨。

四、教学重点、难点

重点：用两个计数原理分析(ab)3的展开式得到二项式定理；掌握二项展开式的通项公式；能应用它解决一些简单问题。

难点：用两个计数原理分析推导(ab)3的展开式；用两个计数原理证明二项式定理。

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五、教学过程

教学程序

问 题

引出问题：如果今天是星期五，14天后的这一天是星期几呢？23天后的这一天呢？

师生归纳：比如23=7×3+2，所以23天后是星期日。

算法：用各个数除以7，看余数是多少，

再用五加余数来推算

师：再过82016天后是星期几，你知道吗？

不方便求出82016除以的余数，可以利用8=7+1，得到82016=(7+1)2016=? 如果不用计算器的话,此时就需要研究设计意图

师生活动

提出问题激发学生探索让学生用计欲望，并引出算器计算

课题

(ab)n?(nN*)

从特殊开始

由(a+b)=a+b

(a+b)2=(a+b)×(a+b)=a2+2ab+b2; (a+b)=(a+b)×(a+b)=? 321体会多项式乘法计算过程,加深对因式展开原理的理解。

与学生一同计算，得到计算结果，为后面做铺垫。

33223结果：

(ab)a3ab3abb创设问题探究一：通过组合思想来分析(a+b)3的展开情境

式(ab)3(ab)(ab)(ab)

展开后

引入①项的形式为：a3,a2b,ab2,b3

新课

②项的系数，考虑b，

a3：每个都不取b的情况有1种，即C3 ,0则a3前的系数为C

恰有1个取b的情况有C3种，则a2b前a2b：的系数为C

恰有2个取b的情况有C

种，则b前ab：2203考察学生对1学生说出自己的思路，老师做分析与讲解为后面猜想做铺垫。

因式展开的各项形式及系数的理解。

1323的系数为C3

b3：恰有3个取b的情况有C3

种，则b3前32的系数为C3所以

303122233

(ab)C3aC3abC3abC3b

3

3

学生先观察总结特点：

1.项数是指探究二：观察展开式中的项数、指数变化以数加1；

及系数变化，你发现了什么？由此猜想（a+b）让学生通过2.字母a按降4

,(a+b)n的展开式中项数，指数变化及系数特例去观察幂排列，字母变化又如何呢？并试着写出他们的展开式。

相同之处与b按照升幂排回答：

不同之处，以列，二者指数及不同之处之和是二项0413222344

(ab)4C4aC4abC4abC4ab3C4b的处理方法，式指数；3、0n1n1(ab)nCnaCnabnnCnb(nN*)

rnrrCnab

从而提出猜每一项的系想。

数有上面的问题2给出，这很好的突破了本节的难点。

探究三：

对于猜想(ab)n1n1Cn0anCnabCn2an2b2...

rnrrnnCnab...Cnb我们如何进行证明呢？

师生讨论证让学生体会明思路，通过

利用组合思阅读课本上想从特殊到的证明过程，一般，对猜想老师最后做给出严谨的出方法归类，理解如何用明的思路。并“说理”的方留下课下演式阐述证明练二项式定过程。

理的数学归纳法证明。

证明：每个(ab)(ab)n是n个(ab)相乘，在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2n项（包括同类项），其中每一项都是anrbr(r0,1,n)的形证明过程。并提示学生证式，对于每一项anrb，它是由r个(ab)选r了b，n－r个(ab)选了a得到的，它出现的次数相当于从n个(ab)中取r个b的组r合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

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观察二项展开式中的项数、指数以及系数有何特点，谁最具代表性？

(1)项：二项展开式共有n1项；

(2)次数：各项的次数都等于n；

字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n 思考(3)二项式系数：C(k{0,1,2,,n})

kn学生继续总结这三点，以考察学生的强化已有的观察力，以及认识，同时老分析问题的师强调：二项能力。

式系数，与二项展开式系数的区别。

对二项式定理的简单应用，同时也是告诉学生二项式定理在解决问题时的方法：赋值或是赋表达式。

学生自主完成，老师进行检查，通过投影仪将学生的结果进行展示，错误时做出点拨与分析。

学生提出解决思路，老师破解疑惑让点评分析，怎学生感受计么才能被7整观察

(4)二项展开式的通项：T=Ckankbk

k1n

学习特殊的情况

新课

1.用-b代替b. （ab）的展开式

写出n

2.令a=1,b=2x. 5（12x）写出的展开式

今天是星期五, 再过82016天后是星期几，你知道吗？

破解疑惑

82016(71)2016

C201672016C20167201501C201520167C2015201620162016

算的简单与除好计算呢?快捷，增强对联想二项式数学学习的定理的表达热情，

形式，问题得到解决，留为课下计算。

熟悉二项式定理，以及对教师板演过二项式系数，程，给学生以展开式系数，示范，为后面7(C2016702015C1201672014C)1

即82016除以7余数是1。 故再过82016天后的那一天是星期六。 5精讲再探索对于（12x）的展开式

精析

思考1：展开式的第2项的系数是多少？

思考2：展开式的第2项的二项式系数是多巩固少？

以及x的系数步骤的整洁新知

思考3：你能否直接求出展开式的第2项？ 问题的理解做铺垫。

与记忆。

5

熟悉二项式定理，二项式课堂练习

反馈6练习

2、求(y2x)的展开式的第三项

系数，二项展学生自主练开式系数，以习，反馈教学及通项的初效果，老师巡步应用，理解视做个别辅二项式展开导。

式的项的顺序。

学生说，教师让学生回顾课件演示，并1、求(2xy)6的展开式的第三项

课堂本节课你学习了什么知识，他是怎么得到的本节要点，观强调：二项式小结

呢？在学习这部分知识时要注意什么呢？

察学生掌握系数与二项情况。

展开式系数的区别。

课本37页

习题1.3 A组 2、4 布置

作业

课后探究：用数学归纳法证明二项式定理

让学生巩固本节课的所学内容和知识。

六、板书设计

1.3.1二项式定理

0n1n1rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)例题1 例题2 练习1 练习2 作业：课本37页

习题1.3 A组 2、4 课后探究：用数学归纳法证明二项式定理

（根据课堂教学活动的推荐，反复使用。） (1)项：二项展开式共有n1项；

(2)次数：各项的次数都等于n；

字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n (3)二项式系数：C(k{0,1,2,,n})

knkk(4)二项展开式的通项：Tk1=Cnab

kn

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关于《1.3.1二项式定理（一）》点评分析

《1.3.1二项式定理》是《普通高中课程标准实验教科书-数学》选修2-3第一章第三部分第一节的内容，在《普通高中课程标准实验教科书-数学》选修2-3教师教学用书建议3课时，本节课为第一课时。

执教者坚持“以人为本，以学定教”的教学理念，通过自已的精心设计和认真思考，把对教材的深刻认识，通过灵活的教学方法，将新课程的理念充分地体现在课堂中，实现了预期的教学目标，充分展示了知识的形成过程，引导学生体验了二项式定理的生成过程和应用过程，具有良好的教学效果。这节课主要有以下特点：

1、

以问题为主线，

充分激发学生的学习动力和兴趣

本节课精心设计了数学问题，教学活动开始时，就提出了人们的生活安排往往成周期变化，提出了推算星期几的问题，从而引出对二项式定理的研究，最后通过所得结论解决提出的问题。一是以问题为载体，有机渗透德育，结合数学知识的特点对学生进行思想教育，这正是数学新课程理念所期待的目标

《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）指出：“数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值……”。二是发挥问题的魅力，激发学生的学习兴趣与动力。众所周知，思维是从问题开始的，没有问题就没有思维，由此可见，课堂教学中问题的质量直接影响到教学效果，正因为如此，《标准》强调数学教学应结合具体的数学内容采用“问题情景一建立模型一解释、应用与拓展”的模式展开，所以在数学教学中，要让学生通过问题的吸引，积极思考，发掘新知识的各个方面，最大限度地实现问题的教学价值。

2、

注重教学中的引导，强化数学思想方法的渗透和应用

《标准》

指出不仅要考虑数学自身的特点，

更应遵循学生学习数学的心理规律，

强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型并进行解释与应用的过程，抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，

帮助学生克服机械记忆概念的学习方法从中不难看出：过程教学观是新课程理念的灵魂，本课例特别突出了过程教学，以过程为载体，强化数学思想方法的教学。

（1）注重课题的引入过程，上课开始提出实际问题，捕捉到实际应用与新知识的衔接点，突出了建模的思想方法。

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（2）注重了二项式定理的生成过程，在此环节中充分展示了系列过程：“乘法公式(a+b)1，(a+b)2，(a+b)3, (a+b)4到(a+b)n的展开式”中出现的规律时，又突出了三个过程：一是引导学生找每一项的次数、项数规律；二是找系数规律，这是问题的关键；

三是找组合数的实际意义，这是解决求二项式指定项系数问题的出发点。通过这些过程教学，突出了以下数学思想方法：由特殊到一般的不完全归纳法；类比联想。由此可见，从公式定理的形成过程中可以学到重要的数学方法，

可谓“过程即方法”，学习数学的过程比学习结论更重要。

3、以人为本，因材施教，突出学生的个性化选择

高中数学课程应具有多样性和选择性，使不同的学生在数学上得到不同的发展，

高中数学课程应为学生提供多层次、多种类的选择，以促进学生的个性发展和对未来人生规划的思考这是新课程理念中对学生成才的立体轨道所作的具体要求。按照这样的观点来看数学教学，必须体现因材施教的教学原则，

教学内容应有较大的弹性，

为各种学生提供发展空间。在此教学设计中，例题和练习的选择和教学也突出了这一点，题目的设置成由浅入深，层层递进，不断拓展，并根据学生实际情况对书上的例题进行了改编。

本教学设计较好地体现了数学内容的弹性要求，适合不同学生的需求。本节课较好地体现了数学新课程理念，教学方法力求实现讲授式、探究发现式和启发式的交融，教学要求力求体现立体化、个性化的选择；教学过程力求做到层次分明、衔接自然的展现。

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