复习参考题课堂实录【2】

数列---教学设计

等差数列前n项和（第一课时）教学设计

教学目的：

知识目标：1.掌握等差数列前n项和公式及公式的推导思想.

2.灵活运用等差数列前n项和公式解决一些简单的实际问题. 能力目标：1.提高学生的推理能力.

2.增强学生的应用意识. 教学重点：等差数列前n项和公式的推导、理解及应用. 教学难点：灵活应用等差数列前n项和公式解决一些简单的有关问题. 教学方法：启发引导法，结合所学知识，引导学生在解决实际问题的过程中发现新知识，从而理解并掌握. 教学过程：

问题情景：

古算书《张邱建算经》中卷有一道题：

今有与人钱，初一人与一钱，次一人与二钱，次一人与三钱，以次与之，转多一钱，共有百人，问共与几钱？

师生共同读题

师：题目当中我们可以得到哪些信息？要解决的问题是什么？

生1：第一人给1钱，第二人给2钱，第三人给3钱，以后每个人都比前一个人多给一钱，共有100人，问共给了多少钱？

师：很好，问题已经呈现出来了，你能用数学符号语言表示吗？

生2：用an表示第n个人所得的钱数，则由题意得：

a11,a22,a33,…，a100100

只要求出1+2+3+…+100=？

师：你能求出这个式子的值吗？

生2：（犹豫片刻）

1+100=101，2+99=101，3+98=101…50+51=101，

所求的和为101×100=5050 . 2师：对于这个算法，著名的数学家高斯10岁时曾很快就想出来了. 高斯的算法是：首项与末项的和：1+100=101，

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第2项与倒数第2项的和：2+99=101，

第3项与倒数第3项的和：3+98=101，

……

第50项与倒数第50项的和：50+51=101，

于是所求的和是101×100=5050 2上面的问题可以看成是求等差数列1，2，3，…，n, …的前100项的和. 在上面解决问题的过程中,我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，从中你有何启发？我们如何去求一般等差数列的前n项和？

设计意图：通过情景引入活动、任务，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用得过程，其作用就在于提升学生的经验，使之连续地向形式的、抽象的数学知识的转变.构筑在学生已有生活经验与生命体验基础之上的数学课程大大激发了学生“做数学”的热情，数学课变得更生动、更活泼，更能引发学生的兴趣.新教材中增添了一些数学史的知识，从课改的一些举措上我感到在数学教学过程中，应适时掀起数学史的教学盖头。向同学们介绍了《张邱建算经》和高斯及他的算法，讲课的过程中适当插入数学史，为数学教学输入了新鲜血液.培养学生的数学文化，营造浓郁的“人文”氛围. 等差数列前n项和

设等差数列an的前n项和为Sn，则Sna1a2…an?

生3：（直接给出公式）由刚才问题的结果可知Snn(a1an)

2师：非常好，由具体的推广到一般，这也是研究数学的一种思想方法由特殊到一般，但是这种方法是猜想、推测，是不完全归纳.数学公式的得出需要严谨的推理过程和相关的理论依据.你能否推导这个公式？

生4：Sn(a1an)(a2an1)…+？（遇到困惑，最后一组怎样表示？是剩一项还是两项？）

师：我们再回顾一下刚才解决的问题，共有100项，两两分组正好分为50组，

如果1+2+3+…+101=？n项时又应如何分组？最后一组应怎样表示？

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生4（继续回答）：1+101=102，2+100=102，3+99=102…50+52=102，51=

共有50组多出第51项

102(1101)

22nn1组，n为奇数时分成组还多一项

22∴当n为偶数时，Sn(a1an)(a2an1)…(anan)

n分奇偶性讨论，n为偶数时正好分成221n(a1an)

2当n为奇数时，Sn(a1an)(a2an1)…(an1an1)an1

=22221

(a1an)(a2an1)…(an1an1)222(a1an)

2

= n(a1an)

2师：好通过分类讨论我们得出了等差数列an的前n项和Sn公式，从所得的结果看无论n是奇数还是偶数Sn的公式一样.那么我们是否可以避开讨论n的奇偶性去推导呢？怎样出现首末两项的和？结合所得公式的特征思考. 生5：Sna1a2…an

Snanan1…a1

将上面两式左右两边分别相加得2Sn(a1an)(a2an1)…(ana1)

=n(a1an)

∴Snn(a1an)

2师：此种方法简洁明了，且避开讨论n的奇偶性，我们将这种方法称为“逆序相加法”，在以后解决数列问题是也经常运用“逆序相加法”，主要运用了等差数列下标等距性质. （有学生举手）

生6：我用另外一种方法得出的结果不一样

Sna1a2…ana1da12d…a1(n1)d

=na1123…(n1)d

=na1n(n1)d

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师：这个结果对否？为何会有两个公式？它们之间有联系吗？

n(a1an)na1a1(n1)dn(n1)na1d

大家一起发现Sn222∴等差数列an前n项和公式：Snn(a1an)n(n1)na1d

22师(总结) ：我们得到了两个计算等差数列前n项和的公式.由公式可知，只要知道a1,n,an,d

这四个量中的三个就可以求出等差数列前n项和Sn. 设计意图：新课标指出“学生的学习过程就是在教师指导下的再创造的过程”在教学的过程中，教师要指导学法，把教与学的过程很好地统一起来，想方法鼓励学生积极参与，大胆设疑、质疑、释疑、辨错、修正，突出过程教学.教师同通过问题情境或学习情境以诱发他们进行探索与问题的解决活动. 应用举例

例1等差数列―10,―6,―2, 2…前多少项的和是54? 解：设题中的等差数列为an，前n项和为Sn，则a110,d6(10)4

由题意得102，Sn54

n(n1)454

2

∴n6n270

解得n19,n23（舍）

∴前9项的和为54. 师(总结)：已知量a1,d,Sn，求n，合理选用公式.

思想方法：方程思想. 设计意图：学以致用,直接运用公式加深对公式的认识和理解.主要通过方程的思想进行基本量的运算.注意解题格式和规范. 例2求集合Mmm7n,nN,m100中元素的个数，并求这些元素的和. 解：由7n100,得n1002,即n14,

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由于满足不等式的正整数n共有14个，所以集合M中的元素共有14个，

将他们从小到大列出，得7，7×2，7×3，…，7×14，

这个数列是等差数列，记为an，其中a17,a1498

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∴S1414(798)735

2答：集合M中的元素共有14个元素，它们的和等于735. 变式1：Mmm7n,nN,n100

分析：∵n<100,∴M中有99个元素，分别为7，7×2，7×3，…，7×99，

变式2：在1到100中被7除余1的正整数共有多少个？它们的和是多少？

分析：设m是满足条件的数，则m=7n+1,且m<100,nN

或m=7n-6,且m<100,nN

设计意图：高中数学课程倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方法，这要求我们转变教学观念，丰富教学形式，改进学生的学习方式，加大课堂教学的研究性、开放性和自主性，在开展探究活动中培养学生的基本技能，将变式训练与引导学生感悟反思放到同样的高度，进而培养学生的数学能力. 练习

课本P118 ex 1 （板演），2,3,4 小结：（1）了解等差数列an的前n项和公式的推导思想（逆序相加法、分组配对法）. （2）掌握等差数列前n项和的两个公式并能灵活运用解决相关问题. （3）研究问题的方法：由特殊到一般. （4）方程思想：基本量的运算. 课后作业：

P118

1（2）（4），2，4，5 教学后记：

新数学课程标准中明确提出“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分”“要体现数学的文化价值”等，将数学史有机地融入到课堂教学中，不仅不会影响学生的学习，相反却会激发学生热爱数学的热情，起到正面推动作用，提升数学教育成效.这也是贯彻德育、提倡人文精神的重要组成部分.由具体的问题情境激发学生的学习兴趣. 等差数列前n项和公式的推导由教师引导学生自主探索,由于数学的严谨性和学生认知的不完备性是一个矛盾，因此公式的发现过程是一个不断修改、不断完善、逐步发现的过程.引导学生积极参与结论的探索、发现、推导的过程,并弄清楚每个结论的因果关系,要适当延迟判断,多让学生想一想、议一议、说一说,重视思路分析的训练．须知教师讲课的最精彩之处,不是自己分析的头头是道,而是引导学生- 5 -

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探求解题思路最后再引导学生归纳引出结论．通过例题的讲解和练习的训帮助学生掌握和记忆公式,例题的变式训练加大课堂教学的研究性、开放性和自主性，在开展探究活动中培养学生的基本技能. - 6 -