1.1 回归分析的基本思想及其初步应用教学设计和教学实录

1.1回归分析的基本思想及初步应用（1）

【教学目标】

知识与技能：

1.

熟练用最小二乘法求线性回归方程y＝bx＋a。

2.

理解引入线性回归模型必要性，会求预报变量

3.

了解模型中随机误差项e产生的原因以及会求随机误差

过程与方法目标：

通过回顾必修3学习统计知识对抽样数据两个线性相关变量进行分析，引入本节内容对统计案例进行分析，承上启下，能正确理解回归方程的预报结果。 态度与价值观：通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，理解处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神.培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力。

【教学重点】会求线性回归方程以及预报变量的结果。

【教学难点】理解产生残差变量原因会具体问题求残差。

【教学方法】讲授法、讨论法、演示法

【教学过程】

一

、创设情景

问题1：现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？

两个变量的关系：不相关关系，函数关系，相关关系。

相关关系包括：线性相关，非线性相关。

相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。

现实生活中存在着大量的相关关系

如：人的身高与年龄

产品的成本与生产数量；

商品的销售额与广告费

家庭的支出与收入。等等

问题2：对于线性相关的两个变量用什么方法来刻划之间的关系呢？

最小二乘估计下的线性回归方程ˆaˆbxˆy

b(xx)(yy)xynxyiiiii1nn(xx)ii1n2i1n,aybxxi12inx2

1

n1n其中xxi,yyi.x,y称为样本点的ni1i1。中心

注：回归直线比经过样本的中心。

二、讲授新课

（一）回归分析的基本思想

回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计

分析的一种常用方法

回归分析的基本步骤: 画散点图，求回归方程，预报、决策。

2.教学例题分析：

例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：

编号

身高/cm

1 165

2 165 57

3 157 50

4 170 54

5 175 64

6 165 61

7 155 43

8 170 59 体重/kg 48 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重. 解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图

2、回归方程

ˆ0.849x85.172

y

2

身高172cm女大学生体重ˆ=0.849×172-85.712=60.316(kg)

y探究：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？

答：用这个回归方程不能给出每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平均体重的估计值。

事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重和身高之间的关系并不能用一次函数来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果（即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型其中残差变量中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式. （二）线性回归模型

由于所有的样本点不共线，而只是散布在某一直线的附近，所以身高和体重的关系可以用线性回归模型来表示：

ybxae

预

报

变

量

其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差.

ybxae其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差. 思考:产生随机误差项e的原因是什么？

产生的主要原因：

(1)所用确定性函数不恰当；

(2)忽略了某些因素的影响（如饮食习惯、是否喜欢运动、基因等）；

(3)观测误差。

（三）残差概念

随机误差

机误差eiyibxia(i1,2,....n)ˆ

其估计值为：ˆ

yyˆybxˆ估计值为: eaiiiii3

称为相应点(xi,yi)的残差

差eiyibxia(i1,2,....n)ˆˆyyˆybxˆ值为: eaiiiii相应点(x)称为相应点的残差

的残差i,yi（四）课堂练习

例、已知回归直线方程y1.3x4e，则样本点（2，7）的残差为（

）

ˆ0.5x0.801，则当x=25时，y的估计值是1、已知回归直线方程

y（

）

ˆ21.5x，则当变量x增加一个单位时，y平2、已知回归直线方程

y均减少

（

）个单位。

ˆabx

必定过点（

）

3、线性回归方程

yA（0，0）

B（

x

，0）

C（0，

y

）

D（

x

，y

）

（五）课堂小结

函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据，作散点图，求回归直线方程利用方程进行预报. 会求具体问题的预报值和残差值，初步理解回归模型分析的基本思想。

【课后作业】

1、某种产品的广告费支出x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：

X

Y

2

30

4

40

5

50

6

60

8

70

(1)画出散点图；

（2）求线性回归方程；

（3）预测当广告费支出为7百万元时的销售额。

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