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《基本不等式》教学设计

一、 [教材依据] 人教A版 必修5 第三章 不等式 3.4 基本不等式

二、 [设计思想] 本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。

要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。

教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。 三、 [教学目标] 1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式及其证明，并能运用基本不等式解决最值问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→

剖析归纳证明→

深化理解→

应用（最值的求法）的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法。

3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

四、 [教学重点] 基本不等式的证明；基本不等式的应用（求最值问题）

五、 [教学难点] 1、对基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）的理解；

2、利用基本不等式求解最值问题。

六、 [教学方法]

本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究的教学流程，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件、几何画板作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。

七、 [教学过程] 一、

创设情景，提出问题；

右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

同时，（几何画板辅助教学）通过几何画板演示，

让学生更直观的抽象、归纳出以下结论：

4S三角形S正方形

二、抽象归纳：

一般地，对于任意实数a,b，有a2b22ab，当且仅当a＝b时，等号成立。

[问] 你能给出它的证明吗？ 学生回答，过程在课件中显示。

特别地，当a>0,b>0时，在不等式a2b22ab中，以a、b分别代替a、b，得到什么？

答案：

abab。

（a0,b0）

[问] 如何证明基本不等式？

分析法（完成课本填空）

要证abab 只要证ab 0 只要证()20 显然, 上式是成立的。

当且仅当a=b时,等号成立

。

点评：证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法.

【归纳总结】

如果a,b都是正数，那么abab，当且仅当a=b时，等号成立。

2ab称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几2我们称此不等式为基本不等式。

其中何平均数。

文字语言叙述：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

三、例题讲解

例1 （1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

思考：通过例1，总结利用基本不等式可以解决哪些最值问题？

结论：

若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值；

若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。

基本不等式求最值七字方针：一正，二定，三相等。

简记为：“一正、二定、三相等”。

1例2 （1）已知x>0，求x+的最小值；

x4 （2）已知x>3，求x+的最值。

x-3

四、

深化练习：

练习1：判断下列解题过程的正误：

1112x2x的最小值是2

xxx111（2）x2,则x2x2x2时,x的最小值是2

xxx

1

(3)已知x时,求x21的最小值;2

解:x212x212x,当且仅当x21

2即x1时,x1有最小值2x2.

（1）x以上命题均是根据基本不等式的使用条件中的难点和关键处设置的，目的是利用学生原有的平面几何知识，进一步领悟到不等式abab成立的条件a0,b0，及当且仅当2

ab时，等号成立。这些“陷阱”要让学生自己往里跳，然后自己再从中爬出来，完全放手让学生自主探究，老师指导，师生归纳总结。

练习2：（1）已知x>0,y>0，2xy1，求xy的最大值。

3（2）

已知x>，求函数y2x11的最小值。

22x3

3（3）

已知x<，求函数y2x11的最大值。

22x3

五、反思总结，整合新知：

通过本节课的学习你有什么收获？取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要请教？

老师根据情况完善如下：

1、基本不等式：若a0,b0，则有ababab，当且仅当a=b时，ab。

222、用基本不等式求最值把握七字方针即：一正，二定，三相等

六、布置作业：略

七、课下思考：类比基本不等式，当a,b,c均为正数，猜想会有怎样的不等式？

八、[教学反思] 我校教学指导方针为：“低起点，高观点，高目标”。

新课程标准中对知识的发生的过程提出了较高的要求，多次使用了“经历”、“感受”、“探索”等情感，态度与价值观要求行为动词，重视学生对问题的探究能力。

在证明基本不等式时， x2y2xy22一般方法：x，y∈R，(x－y)0, 当且仅当x=y时，等号成立。

abx2y2abab22xy令

x=, y=, 所以

,当且仅当a=b时，等号成立。

接下来提问学生能否有别的方法证明该不等式，没想到学生思维活跃，提出了两种证法，令我始料不及，收获很大。

证法2：当a>0,b>0时，有(a－b)20 a2+b22ab 2 (a+b)

4ab  a+b－２ab(舍去)或 a+b２ab

abab2

当且仅当a=b时，等号成立

2证法3：当a>0,b>0时，(a—b)0 a+b－２ab0 abab2

当且仅当a=b时，等号成立

这样学生通过多种证法对基本不等式应有更深刻的理解。

本节课强调过程教学，启发思维，调动学生学习数学的积极性。让学生真正参与其中；对整个基本不等式的来龙去脉包括对基本不等式语言叙述、符号表示、证明、几何解释与学生一起经历，使学生不仅知其然，而且还知其所以然。本节课的密度强，但是适合我校学生数学学习特点的。