复习参考题教学评价实录

必修5 3.4 基本不等式（教案）

（第 2 课时）

【教学目标】

1．掌握基本不等式成立的条件；

2. 会应用基本不等式求最值；

3. 掌握基本不等式在实际中的应用．

【重点】

1. 掌握基本不等式成立的条件；

2. 会应用基本不等式适当变形求最值；

3．能正确将实际问题转化为数学问题，并应用基本不等式求最值．

【难点】

1.

抓住定值进行变形应用基本不等式求最值；

2.

将实际问题转化为数学问题，并应用基本不等式求最值．

【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第

99 页～第 101 页）

1．ab2ab可化为ab(ab2) （a0,b0）；使用该不等式求最值时，要注2意的前提条件为：（1）a0,b0；（2）积或和为定值；（3）当且仅当ab时，等号成立，

即记为“一正，二定，三相等”．

2. 基本不等式的功能在于积与和的互化，便于创造

“定值”这一条件，其应用需要一定的灵活性和变形技巧即拆项或配项．

3.在解决实际问题设自变量时通常把需求最大或最小值的变量为函数；设自变量时要注意便于数学模型的建立.

【基础练习】

1．函数yx(82x)的最大值是8，此时x 2 ．

2．已知x1,y1,且lgxlgy4,那么lgxlgy的最大值为 4 ．

3.如果x0，那么y3(3x)的最大值为 323 ．

4.某民用企业的一种电子产品，2003年的产量在2002年基础上增长率为a；2004年又在2003年的基础上增长率为b(a0,b0)，若这两年的平均增长率为q，则C．

1xabababab Bq Cq Dq,的大小关系不确定．

22225.在直径为d的圆内接矩形中，最大面积是多少？这样的矩形长宽之比是多少？

Aq

解：设圆内接矩形长与宽分别为x,y，则x2y2d2，矩形的面积为x2y2d2sxy，当且仅当xy时，等号成立．

22d2故圆内接矩形最大面积是，此时矩形长宽之比是1:1.

2【典型例题】

例1 (1) 已知a0,b0,ab1,则11的取值范围D.

abA2, B2, C4, D4,．

（2）（2009广州模拟）设a,b为正数，且ab1，求【审题要津】已知条件等式ab1求11的最小值.

2ab1111或的最值，注意“1”的代换．

ab2ab11ababab24．

解：（1）a0,b0,ab1,ababba11的取值范围4,．

ab（2）a0,b0,ab1,11abab3ab312.

2ab2ab2b2a22311的最小值是

2.

22ab【方法总结】通过对条件等式中“1”的代换将要求最值的式子转化为能用基本不等式的类型．

例2（1）用篱笆围一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短是篱笆多少？

（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园面积最大，最大面积为多少？

【审题要津】（1）中当矩形的面积为定值，矩形的长、宽各为多少时，篱笆的长最短；（2）中当矩形的周长为定值，矩形的长、宽各为多少时，篱笆的面积最大．

解：（1）设矩形菜园的长为xm、宽为ym，则xy=100,篱笆的长为2(xy)m．

2x+yxy得xy2100,2xy40.当且仅当xy时成立，此时xy=10.

2故菜园的长为10m、宽为10m时，所用篱笆最短为40m.

由（2）设矩形菜园的长为xm、宽为ym，则2(xy)36,xy18,

2矩形的面积为xym.由xyx+y189,可得xy81,当且仅当xy时成立，此时22

xy=9.

故菜园的长为9m、宽为9m时，所用篱笆的最大面积为81m.

【方法总结】将实际背景转化数学模型为：已知两正数的和为定值，求积的最最大值；或已知两正数的积为定值，求和的最小值．

【变式练习】

1.做一个体积为32m，高为2m的长方形纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最小？

解：设长方形底面的长为xm、宽为ym、用纸量是z，则xy=16,

32z2xy22x22y324(xy)3242xy64当且仅当xy=4时成立.

答：当长方形底面的长为4m、宽为4m时，用纸量最小.

2.一段长为的30m篱笆围成一个一边靠墙的矩形小院，墙长18m，问这个矩形的长与宽为多少时，小院的面积最大，最大面积为多少？

解：设矩形的长为xm、宽为ym，小院的面积为sm2,则x+2y=30,s=xy.

1119002252s=xy=x2yx2y==.

2224215225.

当x2y,即x15,y时，小院的面积最大，最大面积为22例3 动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各方面用钢筋网围成.（1）现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使虎笼面积最大？

（2）若使每间虎笼面积为24m，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？

【审题要津】设每间虎笼长xm，宽ym，则（1）是已知4x6y36，求xy的最小值；（2）是已知xy，求4x6y的最小值；易于应用基本不等式解决. 解：设每间虎笼长xm，宽ym，则由条件得4x6y36，即2x3y18.

设每间虎笼面积为s，则sxy. 解法1.由于2x3y22x3y26xy,26xy18,

得xy22727,即s,当且仅当2x3y时，等号成立. 22由2x3y18x4.5,故每间虎笼长4.5m，宽3m.

,得2x3yy3.

解法2. 由2x3y18得x93y.

2x0,0y6,6y0.3336yy27sxy9yy6yy.

22222当且仅当6yy时，等号成立，即2x4.5,时等号成立. y3.（2）由条件知sxy24.设钢筋网总长为l，则l4x6y.

解法1. 2x3y22x3y26xy24,l4x6y48,

当且仅当2x3y时，等号成立. 由解2x3yx6解得.故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小. xy24y4法2.由xy24,得x24961616.l4x6y6y6(y)62y48.

yyyy16y时，即y4时，等号成立，此时x6. y当且仅当答：（1）每间虎笼长4.5m，宽3m时，面积最大；

（2）每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小. 【变式练习】

某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为4800m，深为3m．如果池底每平方米的造价为150元，池底每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？

【审题要津】由题意知水池呈长方形，高为3m，底面的长与宽不确定，要确定水池总造价最低，只需确定水池的长与宽的即可．

解：设底面的长为xm、宽为ym，水池总造价是z，

则根据题意得：z15033480012023x23y240000720(xy).

3容积为4800m，3xy4800,即xy1600.

240000720(xy)2400007202xy,即z24000072021600.

z297600.当xy40时，等号成立.

所以，将水池的底面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，总造价为297600元.

【方法总结】本题将实际背景转化数学模型为：已知两正数的积为定值，求和的最小值；注意总造价的表示是建立数学模型的关键.

例4

图画柱挂在墙上，它的下边缘在观察者的眼睛上方a米处，而上边缘在b米处，问观察者站在离墙多远处才能使视角最大？

【审题要津】要使视角（锐角）最大，只需该视角的某一三角函数值（正切、正弦）最大. 解：设观察者站在离墙x米，则

baabxxba.

如图，tan,tan,tantan()ababxx12xxxx号. 又abababba当且仅当x即xab时，取等2x2ab,tanxxx2abx0,，ytanx是增函数. 2xab时，视角有最大值. 【方法总结】实际中的最值问题往往转化为数学中的函数求最值问题.这里是几何中的最值问题，以观察者站在离墙的距离x米为自变量，得到目标函数tanba是本题的关abxx键.

1.（2006年天津）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为每次4万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 20 吨. 2.如图，在某水泥渠道，横断面为等腰梯形，为保证额定流量，面积不得小于s.若两侧面的倾角均为，为使水泥用料最省，则腰长与底宽之比是A.

A 1:1 B

1:2 C

2:1 D2:3.

3.一批货物随17列货车从市以匀速直达市，已知两地间铁路线长为400km，为了安全，v两辆货车间的间距不得小于km，那么这批货物全部运到B市最快需要B.

202A6h B8h C10h D12h. 4.下列命题中正确的是C.

1x23A

函数yxx的最小值为2 B函数y2的最小值为2 x3C

函数y23xx(x0)的最大值为24最小值为243. 5.

已知正数x,y满足443

D函数y23x(x0)的x491,则xy有C.

xyA

最小值12 B最大值12 C最小值144 D最大值144. 6.若ab1,Plgalgb,Q1ab,则D.

lgalgb,Rlg22A

RPQ B

PQR CQPR DPRQ.

7.若实数x,a1,a2,y成等比数列，且x,b1,b2,y成等差数列，则b1b2a1a22的取值范围C.

A4,

B,44,

C,04, D 0,4． 8.

（2007年重庆）若a是12b与12b的等比中项，则2ab的最大值为B.

a2bA25252 B

C

D. 15452x22x2(x0)的最小值是 231 .

9.（2009重庆一摸）函数yx110.在ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM2，则OA(OBOC)的最小值为 -2 . 11.若正数a,b满足abab3，求ab的取值范围．

解：a0,b0,ab2ab.

abab3,abab32ab.

ab22ab30.(ab3)(ab1)0.ab3.ab9.

ab的取值范围为9,.

b21，求a1b2的最大值．

12.已知a0,b0,且a22解：b2a221222a2b23222a1b2a1b.

222422,a2当且仅当2a1b时取等号，故a1b2的最大值为

1. （2006年陕西）已知不等式xy232.

41a则正实数a的9对任意正实数x,y恒成立，xy最大值为C.A8 B

6 C

4 D2. 2. （2006年湖南理）对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:1污物质量)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选物体质量(含污物)x0.8(xa1),用y质量的x1择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a(1≤a≤3).设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是水第二次清洗后的清洁度是yac,其中c(0.8c0.99)是该物体初次清洗后的清洁度. ya(1)分别求出方案甲以及c0.95时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少; （2)若采用方案乙,当a为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少? 解：(1) 设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，

由题意得：x0.80.99,解得x19.

x1

由c0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足y0.95a0.99,

ya解得y4a,故z4a3即两次用水量分别为19,4a3.

因为当1a3时，xz4(4a)0,即xz,故方案乙用水量较少. （2）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似于（1）得x5c4,ya(99100c).

5(1c)5c41a(99100c)100a(1c)a1.

5(1c)5(1c)于是xy当a为定值时，xy21100a(1c)a1a45a1.

5(1c)当且仅当1100a(1c)时等号成立，

5(1c)110.8,0.99.

（舍去）或c1105a105a1代入x与y得x25a1a1,y25aa.

105a1时总用水量最少，此时第一次用水量25a1，第二次用水量105a即c1将c1故c125aa,总用水量为45aa1.