二一般形式的柯西不等式名师课堂实录｜教案在线预览

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一般形式的柯西不等式磨兆红教学目标：1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式； 2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，教学重点：

资料类型：教学教案文档

所属课文：二一般形式的柯西不等式

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2018-08-16 17:16:00

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学校：河北省曲阳县第一高级中学

二一般形式的柯西不等式名师课堂实录

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2018-08-16 17:16:00

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关键词：二一般形式的柯西不等式名师课堂实录

正文

一般形式的柯西不等式

磨兆红

教学目标：

1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式；

2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，

教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用。

教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。

教学过程：

一、复习引入

定理1：（二维柯西不等式的代数形式）设a,b,c,d均为实数，则[来源:学,科,网Z,X,X,K]

(a2b2)(c2d2)(acbd)2，其中等号当且仅当adbc时成立。

为平面上的两个向量，定理2：（柯西不等式的向量形式）设，则||||||，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

二、讲授新课

类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β| .将空间向量的坐标代入，可得到

(a1a2a3)(b1b2b3)(a1b1a2b2a3b3)2当且仅当

α ，

共线时，即

β0

，或存在一个实数k，使得aikbi(i1,2,3)时，等号成立.这就是三维形式的柯西不等式. 对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？

定理4：（一般形式的柯西不等式）：

设n为大于1的自然数，ai,bi（i1，2，…，n）为任意实数，则：222222(a12a22即n[来源:学科网ZXXK]an2)(b12b22bn2)(a1b1a2b2anbn)

aii12bi(aibi)2，其中等号当且仅当2i1i1nnbb1b2n时成立（当ai0a1a2an时，约定bi0，i1，2，…，n）。

证明：构造二次函数：f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2(anxbn)2

即构造了一个二次函数：f(x)(ai2)x22(aibi)xbi2

i1i1i1nnn由于对任意实数x，f(x)0恒成立，则其0，

即：4(aibi)4(ai)(bi2)0，

22i1i1i1nnn即：(aibi)2(ai2)(bi2)，

i1i1i1nnn等号当且仅当a1xb1a2xb2anxbn0，

即等号当且仅当b1b2bn时成立（当ai0时，约定bi0，i1，2，…，n）。

a1a2an如果ai（1in）全为0，结论显然成立。

三、应用举例源:Zxxk.Com]

例1、

已知a1,a2,…,an都是实数，求证：1(a1a2an)2a12a22an2

n分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。

例2、

已知a,b,c,d是不全相等的正数，求证：abcdabbccdda

分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。

[来源学科网]2222例3、

已知x2y3z1,求x2y2z2的最小值. 分析：由

x2y3z1以及

x2y2z2

的形式，联系柯西不等式，可以通过构造（1+2+3）作为一个因式而解决问题。

222

四、巩固练习

教材P41

4题、

5题、6题

关于本教案的常见问题

Q：二一般形式的柯西不等式名师课堂实录是什么类型的资料？

A：这是一份教学教案文档，可用于备课、课堂讲解与课后复习，支持在线预览正文内容。

Q：这份教案对应哪篇课文？

A：对应课文《二一般形式的柯西不等式》，可从面包屑进入课文目录查看同课其他资料。

Q：如何找到配套课件？

A：页面提供「配套课件/同课文课件」入口；也可进入课文详情页同时查看教案与课件列表。

资料摘要

二一般形式的柯西不等式名师课堂实录