3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义优质课教案

3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义

教学设计

一、教学内容分析： 本课是高中数学选修1－2第三章《复数》第二节《复数代数形式的加减运算及其几何意义》，主要内容是复数的加减运算及其几何意义，是学生首次接触复数集中的运算。学生的知识基础是已经学习的复数的概念和坐标表示以及实数与平面向量加减运算，在这节内容中，借助向量的加减法解释和“形化”了复数的加减法，充分体现了复数的“数”和“形”的双重特征，揭示了复数的加减运算与平面向量的加减法法则保持一致。在教学中，既要求学生掌握复数代数形式的加减运算法则，又要理解和初步应用加减法的几何意义，为进一步运用复数运算几何意义奠定基础。

二、学情分析： 高二（196）班属于普通文科班，女生比例较大，学生基础普遍比较薄弱，学习习惯较差。学生受文科思维的影响，习惯于机械记忆，受文科学习方式的负面影响，文科学生不自觉的加剧了数学学习中的机械记忆，习惯于老师讲，自己记，复习背，对概念、定理、公理的本质属性缺乏正确的认识，不重视思维训练，导致数学学习能力下降，心理压力增大，恶性循环。因此培养学生良好的学习习惯与严谨的逻辑思维能力相当重要。 三、教学目标： 1、知识与技能目标：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复

数加减法运算的几何意义。 2、过程与方法目标：在问题探究过程中，体会和学习类比，数形结合等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程。 3、情感、态度与价值观目标：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用。

四、教学重点：理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律，准确进行加减运算，初步运用加减法的几何意义解决简单问题。

五、教学难点：复数加减法的几何意义及其应用 六、教具准备：多媒体、实物投影仪。 七、教学过程： 课前准备：通过复习向量相关知识及复数相关概念，打好知识基础，解决下列问题： （一）、温故： 1、.复数的定义：形如a+bi的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示. 2、两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d

。 3、复数几何意义:复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

复数a+bi 一一对应一一对应复平面内的点（a,b)平面向量(a,b)

4、回顾以前所学向量知识,作下面两个向量的和向量(平行四边形法则)与差向量(三角形法则)。

我们知道，复数系是由实数系扩充而来，实数可以进行加减运算，那么我们思考：

1、复数能否进行加减运算？

2、若可以，如何定义复数的加减运算？

3、实数加法的运算律是否也适用于复数加法？

这节课，我们将共同解决以上问题。学生自主阅读、理解教材，并初步完成如下学习任务，阅读教材57-59页。

（二）、新知探究： 任务一：复数代数形式的加法运算法则： 复数复数的加法法则：设a，b，c，d∈R，那么z1abi,z2cdi则z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i

练习：（1）（2+4i）+(3-4i)=

(2)

(6-5i)+(3+2i)= 结论：两个复数的和仍然是复数；

思考：两个虚数的和是否仍然为虚数？

任务二:复数加法运算律： （1）复数加法交换律：

设z1abi,z2cdi，a，b，c，d∈R 引导学生利用复数的加法分别计算z1z2和z2z1

z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i

z2z1(cdi)(abi)(ca)(db)i

再引导学生利用实数加法交换律和复数相等的判断z1z2和z2z1的关系，得到复数加法交换律：z1z2z2z1

复数加法交换律满足，复数加法结合律是否成立？

（2）复数加法结合律

设z1C,z2C,z3C，请同学们类比复数加法交换律的方法，自己验证加法结合律：

(z1z2)z3

z1(z2z3)

得出结论：复数满足加法结合律(z1z2)z3z1(z2z3)

任务三：复数代数形式的减法运算法则：

类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算，即把满足（c+di）+（x+yi）= a+bi 的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作

a+bi－（c+di）. 事实上，由复数加法及复数相等的定义，有：

c+x=a，d+y=b 由此，得

x=a－c，y=b－d 所以

x+yi=(a－c)+(b－d)i 复数减法法则：

a+bi－（c+di）=(a－c)+(b－d)i 这里引导学生得出加减法的运算法则：复数加减法，实际就是实部和虚部分别相加减

(abi)(cdi)(ac)(bd)i

带领学生进行加减混合运算，要求学生通过示范可以自主完成加减混合运算。

典例分析：

例1、计算

巩固检测：

(1)(34i)(2i)(15i)(2)(2i)(23i)4i

探究：我们知道,两个向量的和与差满足平行四边形法则与三角形法则, 复数可以表示平面上的向量，那么复数的加减法与向量的加减法是否具有一致性呢？接下来的任务我们就来解决这个问题。

任务四：复数加减法运算的几何意义

1、复数加法的几何意义

设OZ1及OZ2在复平面内分别与复数z1abi及z2cdi对应，---------则OZ1（a,b）,OZ2(c,d)，如图所示：

则：



Z2(c,d)yZZ1(a,b)

O

xOZ=OZ1+OZ2=(a,b)+(c,d)

=(a+c,b+d)

且：

z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i

所以我们相互对应可以得到：

复数（ac）(bd)i在复平面内对应的向量即OZ

这样我们可以解决任务四之前的一半问题：复数的加法与向量的加法保持一致。

2、复数减法的几何意义

引导学生在复平面内类比加法的几何意义得到，学生通过类比可以得到下面的代数式同时学生可以在上面的复平面内做出减法的图像：

Z2Z1OZ1OZ2 (a,b)-(c,d)

(a-c,b-d)

得到：

z1z2(ac)(bd)i

复数（ac）(bd)i在复平面内对应的向量即Z2Z1

这样我们可以解决任务四之前剩下的问题：复数的减法与向量的减法保持一致。

典例分析：

例2.在复平面内，复数6+5i与-3+4i对应的向量分别是OA

与OB，其中O为原点，求向量AB与BA对应的复数。

板书引导学生结合复数加减法的几何意义解决实际问题。

巩固检测：



z15i,z213i,则复数zz1z2对应的点在____A、第一象限.B、第二象限C、第三象限.D、第四象限（三）检测导结

1．复数z13i,z21i,则z1z2等于（

）. （A）2

（B）2+2i

（C）4+2i

（D）4-2i 2.一个实数与一个虚数的差（

）

A.不可能是纯虚数

B.可能是实数

C.不可能是实数

D.无法确定是实数还是虚数

3.设z12bi,z2ai,当z1z20时，复数abi为（

）. （A）1+i

（B）2+i

（C）3

（D）-2-i 4.复数z1a4i,z23bi,若它们的和为实数、差为纯虚数，则实数a、b的值为（

）. （A）a=-3 ,b=-4

（B）a=-3,b=4

（C）a=3,b=-4

（D）a=3,b=4 AB表示的复数分别为2i,32i,5.已知复平面xOy内的平面向量OA、则向量OB所表示的复数的模为（

）. （A）5

（B）13

（C）10

（D）26

6．在复平面上复数32i，45i，2i所对应的点分别是A、B、C，则平行四边形ABCD的对角线BD所对应的向量BD表示的复数是

（

）

A.59i

C.711i

B.53i

D.711i



7. 已知xR，y为纯虚数，且（四）课堂小结

引导学生自己总结

（2x1)iy(3y)i，求x,y （1）这堂课学到哪些知识点？

（2）学到哪些数学思维以及数学学习方法？