学习总结报告教学活动设计方案

不等式应用

【学习内容】应用不同的方法解题。让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，

激发学生学习兴趣；

【学习重点】1.

应用不等式公式。2.应用换元法

【学习难点】理解不同的换元法

【内容解析】

2015年的一道高考题多种解法：

若a,b0，且ab5，则a1b3的最大值为

22方法一：2abab得到ab2(a2b2)

2由2abab，两边同时加上ab得

222a2b22aba2b2a2b2即(ab)22(a2b2)

两边开方得ab2(a2b2)

从而有a1b32(a1b3)29=32

当且仅当a1b3，即a73,b时，等号成立。

22所以a1b3的最大值为32

方法二，平方后，利用ab2ab

(a1b3)2a1b32a1b3

=92a1b39(a1b3)18

即是(a1b3)218

当且仅当a1b3，即a所以a1b332

所以a1b3的最大值为32

方法三，柯西不等式acbd73,b时，等号成立

22(a2b2)(c2d2)

因为a,b0，且ab5，由柯西不等式得

1a11b3(1212)(a1)2(b3)2



2932

所以a1b332

所以a1b3的最大值为32

前三种方法都是利用了不等式性质来解题。

方法四：构造对偶式

a1b3m，a1b3n

两式相加得2mna1mn，求得a421

2两式相减得2mnb3mn，求得b4223

mn因为ab5，所以422mn14235

化简得mn18，所以m18n，m18n21832

2所以a1b332

所以a1b3的最大值为32

方法五：构造等差数列

令a1,m,b3成等差数列，公差为d，

则a1b32m(m0)

根据等差定义得a1md,b3md

化简得amd1,bmd3

因为ab5，所以md1md35

化简得2(md)9，两边乘以2得4(md)18

222即4m4d18，2m184d

两边开方得

2222222222m184d21832

所以a1b332

方法六：三角法

令a1b3m(m0)两边除以m得到a1b31

mm因为cossin1，所以令24222a1b3cos2，sin2，

mm4解得amcos1，bmsin3

ab5，得到m2cos41m2sin435

化简得

m2(co4ssi4n)

把9cos21sin2代入

得m2[(1sin2)2sin4]9

11m2(2sin42sin21)9

配方得

m2[2(sin2)2]9

22121112112222因为2(sin)，

所以

m[2(sin)]m

222222122即

9m

所以

m18

即

m32

所以a1b332

2后面三种方法，都是利用换元法，把a,b换出来再找它们的范围。

小结：“一题多解”是发散性思维的一种表现形式，这节课我们主要是讲解了不等式性质和换元法。对于同一个题目，我们可以从不同的角度去思考它。可以得到不同的方法。