小结教案及板书设计

2.4 正态分布教学设计

北重三中

马泽敏

一、教学目标 1. 知识目标：理解并掌握（标准）正态分布和正态曲线的概念、意义及性质，并能简单应

用。

2. 能力目标：能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律，引导学生通过观察

并探究规律，提高分析问题，解决问题的能力；培养学生数形结合，函数与方程等数学思想方法。

3. 情感目标：通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培

养学生的进取意识和科学精神。

二、教学重点、难点： 重点：

正态分布的概念、正态曲线的性质和标准正态分布的一些简单计算。

难点：

正态分布的意义和性质。

三、教学设想

一、情境导入

这是一块高尔顿板，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内。

如果把球槽编号，就可以考察球到底是落在第几号球槽中.重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入各个球槽内的小球的个数就会越来越多，堆积的高度也会越来越高.各个球槽内的堆积高度反映了小球掉入各球槽的个数多少.

（1）球会掉入哪个球槽内？

（2）球会掉入哪个球槽内的概率高？

0.35

0.3（3）槽内小球堆积的高度特征

0.25

0.2

请根据高尔顿板的模型画出频率分布频率/组距0.15直方图. 0.1

0.05

0

1234567891011

球槽的编号

随着重复次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线. 离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述。

二、探究新知

频率/组距

(xμ)21.正态曲线

12σ2(x)e,x(,)

上图曲线(或近似地是)下面函数的图像

,2πσ

其中实数μ和(

>0)为参数.我们称f(x)的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线.

m 的意义

总体平均数反映总体随机变量的平均水平

s的意义

总体标准差反映总体随机变量的集中与发散的程度

2、正态曲线的性质：

你能说说正态曲线的特点吗？

（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

（2）曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；

（3）曲线在x=μ处达到峰值

；

（4）曲线与x轴之间的面积为1.

(5) 当

一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移. （6）当μ一定时，曲线的形状由

确定，



越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；



越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. 迁移运用一

1.设两个正态分布密度函数



1

(

x),

x

)

图像如图所示，它们对应的参数分别

2(为



1

,



2

,



1

,



2

，则有（

）

A. μ1<μ2, 1< 2

B. μ1<μ2, 1>2

C. μ1>μ2, 1< 2

D. μ1>μ2, 1> 2

2.填空

给出下列三个正态分布密度函数，请找出其总体的均值μ和标准差σ

x21

f(x)e2,x(,)2π

(x1)218

f(x)e,x(,)22π

22

f(x)=e-2(x+1),x(-,+)

2π继续探究

如果去掉高尔顿板试验中最下边的球槽，并沿着其底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标，则X是一个随机变量. X落在区间(a，b]的概率该如何计算？

3、正态分布的表示

一般的，如果对于任何实数

a

P(aXb),(x)dx

a

则称随机变量X服从正态分布(normal distribution).正态分布完全由参数μ和

确定，因此正态分布常记作N(μ，2).如果随机变量X服从正态分布，则记为X~N(μ，2).

服从正态分布的随机变量叫做正态变量.

经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，他就服从或近似服从正态分布.

早在1733年，法国数学家棣莫弗就用n！的近似公式得到了正态分布.之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布.

正态分布存在于自然现象、生产和生活实际之中，在概率和统计中占有重要的地位．

在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.例如：

（1）长度测量的误差；

（2）某一地区同年龄人群的身高、体重、

肺活量；

（3）一定条件下生长的小麦的株高、穗长、

单位面积产量；

（4）正常生长条件下各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命). 4、服从正态分布随机变量的概率：

正态曲线下的面积规律

对称区域面积相等

迁移运用二

四、课堂小结

1. 正态曲线

2、正态曲线的性质

3、正态分布

4、服从正态分布随机变量的概率

五、课后作业

[教学反思] 现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。我们要尽最大可能实现信息技术与课程内容的有机整合，以利于学生认识数学的本质。本节课我们用计算机呈现以往教学中难以呈现的课程内容，增大了课堂容量,使学生对重点内容的掌握更深入。

