复习参考题优秀公开课教案

离散型随机变量的方差

复习课

人教版选修2-3

教材分析:

本课是一节复习课，方差与均值都是概率论和数理统计的重要概念，是反映随机变量取值分布的特征数．离散型随机变量的均值与方差涉及的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题、选题、选课、做题、考试问题、试验、游戏、竞赛、研究性问题、旅游、交通问题、摸球问题、取卡片、数字和入座问题、信息、投资、路线等问题．从近几年高考试题看，离散型随机变量的均值与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识，主要考查能力。

【教学目的】

1、知识与技能

了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

2、.过程与方法

了解方差公式“D(aX＋b)＝a2D(X)”，以及“若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

3、.情感、态度与价值观

承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值。

【教学重点】：离散型随机变量的方差、标准差。

【教学难点】：比较两个随机变量的均值与方差的大小，从而解决实际问题。

教学过程

一、创设情境，引入新课

要从两名同学中看挑出一名,代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩纪录,第一名同学击中目标靶的环数X1～B(10,0.8),第二名同学击中目标靶的环数X2=Y+4,其中Y～B(5,0.8)。请问:

应该派哪名同学参赛? 试比较两名射手的射击水平高低。

提出问题：下面的分析你赞成吗？为什么？

E(X1)=10×0.8=8 E(X2)=E(Y)+4=5×0.8+4=8 ∴甲、乙两射手的射击平均水平相同。

设计意图：展示错解，引出课题

活动结果：不对，显然两名选手的水平是不同的，要进一步去分析成绩的稳定性．

对“情境问题”的再思考

(1)如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？

(2)如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？

解：∵E(X1)=10×0.8=8 E(X2)=E(Y)+4=5×0.8+4=8 ∴甲、乙两射手的射击平均水平相同。

又∵D(X1)=1.6 D(X2)=0.8 ∴乙射击水平更稳定．

若对手在9环左右，派甲参赛，易赢．若对手在7环左右，则派乙参赛

教师指出：离散型随机变量的方差在在解决实际问题中有着广泛的应用，例如在经济管理决策中的应用，在农业决策问题中的应用，这节课我们学习离散型随机变量方差的应用。

二、回顾就知

D(X)＝(x1E(X))2·P1＋(x2E(X))2·P2＋…＋(xiE(X))2·Pi＋…＋(xnE(X))2·Pn

称为随机变量X的方差，式中的E(X)是随机变量X的均值。

标准差：D(X)的算术平方根DX叫做随机变量X的标准差，记作σ(X)．

2.方差的性质：D(aX＋b)＝a2D(X)；

若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．

知识点拨

(1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；

(2)随机变量X的方差、标准差也是随机变量X的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；它在实际问题中有着广泛的应用．

(3)随机变量X的方差是一个常数，它不随样本的变化而变化。

三、典例探究

学生自主完成，教师予以适当点拨，学生总结规律方法，教师加以完善。

例2有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：

甲单位不同职位月工资1 200 1 400 1 600 1 800 X1/元

获得相应职位的概率P1

乙单位不同职位月工资0.4 0.3 0.2 0.1 X2/元

获得相应职位的概率P2

1 000 1 400 1 800 2 200 0.4 0.3 0.2 0.1

根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？

解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得

E(X1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，

D(X1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；

E(X2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，

D(X2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000. 因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)

应用方差解决实际问题的注意点：

对于方差的实际应用，在两个离散型随机变量的均值相等的情况下，主要看离散型随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算方差，方差大说明离散型随机变量取值比较分散，方差小说明离散型随机变量取值比较集中。(关键词：方差的大小

四、【变式训练】 1.某投资者有10万元,现有两种投资方案:一是购买股票,二是存入银行获取利息.买股票的收益主要取决于经济形势,假设可分三种状态:形势好(获利40000元)、形势中等(获利10000元)、形势不好(损失20000元).如果存入银行,假设年利率8%,即可得利息8000元.又设经济形势好、中等、不好的概率分别为30%、50%和20%.试问该投资者应该选择哪一种投资方案? 分析

：购买股票的收益与经济形势有关,存入银行的收益与经济形势无关.因此,要确定选择哪一种方案,就必须通过计算两种方案对应的收益期望值来进行判断. 2.在某次抽奖活动中，获奖者甲面临两种选择：

（1）获奖金750元；

（2）从装有10张标有奖金的纸牌中一次性抽取3张，这10张纸牌中8张标有200元，两张标有500元，这样做，他所获得的奖金金额等于所抽3张纸牌上的奖金额之和，他应如何选择抽奖方案？

分析：学生自主理清思路（列分布列，求随机变量的均值），教师予以引导点拨。

五、

课堂小结

1.离散型随机变量的方差的意义

2.方差的性质：D(aX＋b)＝a2D(X)；

若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．

六、课后作业

设计说明

本节课从新课标评价理念出发，以问题作为教学的主线，教师适时点拨为辅助手段，使学生在猜想、对比性问题中展开探索，在实践应用性问题中感悟数学的思维与方法．教学中以课堂作为教学的辐射源，通过教师、学生、多媒体多点辐射，带动和提高所有学生的学习积极性与主动性．