1.3 实习作业教学设计模板

高三二轮（理）

第三讲 解三角形

【教学目标】

1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；

2.本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，

求三角形的面积及解三角形的具体应用问题。

【重点难点】

1.教学重点：熟练运用正、余弦定理解三角形；

2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；

【教学策略与方法】

自主学习、小组讨论法、师生互动法

【教学过程】

教学流程

3.命题形式多种多样，解答题以综合题为主，常与三角恒等变换、平面向量相结合

2.本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积等

考试内容

正余弦定理及解三角形

√

教师活动

学生活动

设计意图

考纲再现: 要求层次

了解

理解

掌握

。

高考

近

五

年

主

要

考

查．

考纲传真]1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题

通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢

真题再现; 2b1.(2016北京)在△ABC中,A,a3c,则3csinAa由正弦定理知,3,所以sinCsinCc则Csin231,23

.

学生通过对

6高考真题的解

2b所以B,所以bc,即1366c

2. 决，发现自己对知识的掌握情况。

sin 2A3.(2015·北京)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则sin C＝________.b2＋c2－a225＋36－163解析

由余弦定理：cos A＝2bc＝＝，2×5×64

∴sin A＝

7，4

a2＋b2－c216＋25－361cos C＝＝＝8，2ab2×4×5

372××4437sin 2A∴sin C＝8，∴sin C＝＝1.3783.

222

6.(2016北京)在△ABC中,acb2ac.

(1)求B的大小;(2)求2cosAcosC的最大值.

a2c2b22ac2(1)由余弦定理,cosB,2ac2ac20B,B

4

(2)由(1)可知AC33,2cosAcosC2cosAcos(A)4422222cosAcosAsinAcosAsinAcos(A)22224

0A3,当A时,44

2cosAcosC取得最大值1知识梳理：

知识点1

正弦定理和余弦定理

正弦定理

余弦定理

内

abc＝＝sin Asin Bsin C＝2R. (R为△ABC外接圆半径)

(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，

c＝2Rsin_C；

abc(2)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R；

(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C (1)已知两角和任一边，求另一角和其他

a2＝b2＋c2－2bc·cos_A；

b2＝c2＋a2－2ca·cos_B；

c2＝a2＋b2－2ab·cos_C

2

b2＋c2－acos A＝2bc；

c2＋a2－b2cos B＝2ca

；

a2＋b2－c2cos C＝2ab

容

变

形形

式

(1)已知三边，求各角；

解决两条边；

(2)已知两边和它们的夹角，求

问题

(2)已知两边和其中一边的对角，求另一

第边和其他两个角

边和其他两角

知识点2

在△ABC中，已知a，b和∠A时解的情况

∠A为锐角

学生通过对高考真题的解决，感受高考题∠的考察视角。

a＝bsin A 一解

bsin A

a≥b 一解

知识点3

三角形常用面积公式

1(1)S＝2a·ha(ha表示边a上的高)；

111(2)S＝2absin C＝2acsin B＝2bcsin A；

1(3)S＝2r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．

名师点睛：1．必会结论

(1)三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋CA＋BπC＝π，其变式有A＋B＝π－C，2＝2－2. (2)三角形中的三角函数关系

①sin(A＋B)＝sin C；②cos(A＋B)＝－cos C；

环节二：

CCA＋BA＋B＝cos；④cos＝sin. ③sin2222(3)正弦定理的公式变形

a＋b＋cabcsin A＝sin B＝sin C＝sin A＋sin B＋sin C. 2．必知联系

在三角形中大角对大边，大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，余弦值则相反，即在△ABC中，A>B⇔sin A>sin B⇔cos A

考点分项突破

考点一：利用正、余弦定理解三角形

1.若△ABC中，AC＝3，A＝45°，C＝75°，则BC＝________.

【解析】

∠B＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理，

得BCACBC3＝，即＝，解得BC＝2. sin Asin Bsin 45°sin 60°

2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，

1b，c，且a＝2，cos C＝－4，3sin A＝2sin B，则c＝________. 【解析】

∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b.又a＝2，∴b＝3. 由余弦定理可知c＝a＋b－2abcos C，

1∴c2＝22＋32－2×2×3×－4＝16，∴c＝4.

跟踪训练1：

1.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23，cos A＝3且b

) 2222

A．3

B．22

C．2

D.3

【解析】

由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4.又b

由常见问题2.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，36b，c.已知cos B＝3，sin(A＋B)＝9，ac＝23，

求sin A和c的值．

3【解】

在△ABC中，由cos B＝3，得sin B6＝3，因为A＋B＋C＝π，

6所以sin C＝sin(A＋B)＝9.

因为sin C

53所以cos C＝9，因此sin A＝sin(B＋C)＝sin 65336Bcos C＋cos Bsin C＝3×9＋3×9＝223.

22

c3accsin A由sin A＝sin C，可得a＝sin C＝＝23c.

69

又ac＝23，所以c＝1. 归纳：

1．正弦定理的应用技巧

bsin Aasin B(1)求边：利用公式a＝sin B，b＝sin A，c＝asin Csin A或其他相应变形公式求解．

教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。

(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式

asin Bbsin Acsin A，sin B＝，sin C＝或其baa

他相应变形公式求解．

asin Ab(3)相同的元素归到等号的一边，即b＝sin B，c

sin A＝

sin Bcsin C＝sin C，可应用这些公式解决边或角a＝sin A，

的比例关系问题．

2．利用余弦定理解三角形的步骤

(1)两边和它余弦定理――→另一边们的夹角

的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率。

正弦定理――→另两角

或余弦定理推论(2) 余弦定理推论三角形三边――→

教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。

→一角正弦定理――→另两角→三角

考点二: 判断三角形的形状

1.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，

b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，且sinB＝sinC，则△ABC的形状为(

) A．等腰三角形

B.锐角三角形

22

C．直角三角形

D.等腰直角三角形

【解析】

(1)由bcos C＋ccos B＝asin A得

引导学生通过对sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，

基础知识的逐点扫描，来澄清概即sin A＝sinA，在三角形中sin A≠0，∴sin A＝1，∴A＝90°，由sin2B＝sin2C知b＝c，

综上可知△ABC为等腰直角三角形．

2念，加强理解。从而为后面的练习奠定基础.

2.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.

①求角A的大小；

②若sin B＋sin C＝3，试判断△ABC的形状．

【解析】

(2)①由题意知2a＝(2b－c)·b＋(2c－b)·c，

2

b2＋c2－a21

所以b＋c－a＝bc.由cos A＝2bc＝2，

得A＝60°.②∵A＝60°，∴B＋C＝120°，∴C＝

120°－B，

由sin B＋sin C＝3，得sin B＋sin(120°－B)＝

3，

222

整理得3sin(B＋30°)＝3，∴sin(B＋30°)＝1，

∵B为三角形的内角，所以B＋30°＝90°，即B

＝60°，

∴C＝60°，∴△ABC的形状为等边三角形．

跟踪训练2：

在解题中注意1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，引导学生自主b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为(

) A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰或直角三角形

分析和解决问题，教师及时点

拨从而提高学生的解题能力和兴趣。

解析

∵c－acos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，

∴由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，∴sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin

Acos A－sin Bcos A ∴cos A(sin B－sin A)＝0，∴cos

A＝0或sin B＝sin A，

π∴A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，2

∴△ABC为等腰或直角三角形.

2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，

c

b，c，若b

)

A．钝角三角形

B．直角三角形

C．锐角三角形

D．等边三角形

csin C【解析】

由b

因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，

即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．

归纳：判断三角形形状的两种常用途径

1．化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．

2．化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．

考点三:与三角形面积有关的问题

1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为πa，b，c.已知tan4＋A＝2. sin 2A①求的值；

sin 2A＋cos2Aπ②若B＝4，a＝3，求△ABC的面积．

1π【解析】①由tan4＋A＝2，得tan A＝3，

所以sin 2A2tan A2＝5. 2＝sin 2A＋cosA2tan A＋1

引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编110②由tan A＝3，A∈(0，π)，得sin A＝10，cos

310A＝10. 教师引导学生及时总结，以码处理，加强理解记忆，提高解题技能。

πab由a＝3，B＝4及正弦定理sin A＝sin B，得b＝帮助学生形成完整的认知结35. 构。

π25由sin C＝sin(A＋B)＝sinA＋4，得sin C＝5.

1设△ABC的面积为S，则S＝2absin C＝9. 跟踪训练3：

π1．在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝6，则△ABC的面积是(

) 33333A.2

B.4

C.2或3

D.2或4

ABAC【解析】

由正弦定理知sin C＝sin B，∴sin CABsin B3π2ππ＝AC＝2，∴C＝3或3，当C＝3时，Aπ＝2，

132ππS＝2AB·AC·sin A＝2；当C＝3时，A＝6，S13＝2AB·AC·sin A＝4.【答案】

D 2．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，3b)与n＝(cos A，sin B)平行．

(1)求A；

(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积．

【解】

(1)因为m∥n，所以asin B－3bcos A＝0，

由正弦定理，得sin Asin B－3sin Bcos A＝0，

又sin B≠0，从而tan A＝3.由于0

由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，

π而a＝7，b＝2，A＝3，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0.因为c>0，所以c＝3. 133故△ABC的面积为2bcsin A＝2. 72法二

由正弦定理，得π＝sin B，从而sin Bsin 3

21＝7. 27又由a>b，知A>B，所以cos B＝7.故sin Cππ＝sin(A＋B)＝sinB＋3＝sin Bcos 3＋cos Bsin π3213＝14. 133所以△ABC的面积为2absin C＝2. 归纳：三角形面积公式的应用原则

1111．对于面积公式S＝2absin C＝2acsin B＝2bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．

2．与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．

考点四: 解三角形的应用

●命题角度1

测高度问题

通过跟踪训练，来锻炼学生1.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西独立解决问题行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏的能力，到底知北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测识和能力的内得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，化。

则此山的高度CD＝______m.

【解析】

由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又600BCAB＝600 m，故由正弦定理得sin 45°＝sin 30°，解得BC＝3002 m.

3在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝3002×3＝1006(m)．【答案】

1006 ●命题角度2

测距离问题

2．如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，在河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，则A，B间距离为________米．

【解析】

依题设，∠BCD＝90°，∠BDC＝45°，CDCD＝40，在Rt△BCD中，BD＝cos 45°＝402米．

在△ACD中，∠ADC＝60°＋45°＝105°，所以∠DAC＝180°－(105°＋30°)＝45°，由正弦定ADCD40·sin 30°理，得＝，∴AD＝＝sin 30°sin 45°sin 45°202. 在△ABD中，∠ADB＝60°，由余弦定理，得

AB2＝AD2＋DB2－2AD·DB·cos∠ADB＝

通过跟踪训练，来锻炼学生独(202)2＋(402)2－2×202×402cos 60°＝2 立解决问题的400. 能力，到底知识所以AB＝206(米)．【答案】

206 和能力的内化。

●命题角度3

测量角度问题

3.如图位于A处的信息中

心获悉：在其正东方向相

距40海里的B处有一艘渔教师引导学船遇险，在原地等待营生及时总结，以救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、帮助学生形成相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ完整的认知结的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值构。

为________．

【解析】

在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠

BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝207. 由正弦定理，得ABBC＝⇒sin∠sin∠ACBsin∠BAC

教师引导学生及时总结，以帮助学生形成AB21ACB＝BC·sin∠BAC＝7.由∠BAC＝120°，知完整的认知结构。

27∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝7.由θ＝∠

ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠

ACBcos 30°－sin∠21ACBsin 30°＝14.【答案】

2114

跟踪训练4：

(1)如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为(

)

A.502 m

B.503m 252C.252 m

D.

m2250×AC·sin∠ACB2解析

由正弦定理得AB＝sin B＝1＝502(m).2

2．如图为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠

CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m. 【解析】

根据图示，AC＝1002 m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理ACAM得sin 45°＝sin 60°⇒AM＝1003 m.在△AMNMN中，AM＝sin 60°，

3∴MN＝1003×2＝150(m)．【答案】

150 归纳：解三角形应用问题的基本思路

关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．

环节三：

课堂小结：

1.利用正、余弦定理解三角形

2.判断三角形的形状

3.与三角形面积有关的问题

4.解三角形的应用

引导学生对学生回顾，总结. 学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。

环节四：

课后作业：学生版练与测

学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。