二 综合法与分析法名师课堂实录

选修4-5 第二讲

综合法和分析法教学设计

一、教学目标：

（一）知识与技能：

掌握直接证明的两种基本方法——综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题。

（二）过程与方法: 培养学生的辨析能力、分析问题和解决问题的能力；

（三）情感、态度与价值观：

通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点：

综合法分析法解决数学问题的思路及步骤

三、教学难点：

综合运用分析法和综合法解决比较复杂的数学问题；

四、教学过程:

（一）复习引入：

昨天我们学习了证明不等式的方法比较法，即对两个数作差或者作商，还有其他证明不等式的方法吗？

（二）推进新课，例题巩固：

例题1

已知a,b,c0,且不全相等，求证：a(bc)b(ca)c(ac)6abc

提问：你能用比较法证明出这个问题吗？

分析：观察欲证不等式的特点，左边三项每一项都是两个数的平方和与另一个数的乘积，右边是三个数的乘积的6倍，这种结构特点我们想到用基本不等式。

证明：因为bc2bc,a0，所以a(bc)2abc。

因为ca2ac,b0，所以b(ca)2abc。

因为ab2ab,c0,所以c(ab)2abc

由于a,b,c不全相等，所以上述三式至少有一个不取等号，把它们相加得

222222222222222222a(b2c2)b(c2a2)c(a2c2)6abc

思考交流：1.条件与结论的位置 2.推证的方向 3.推证的书写格式

（1）

综合法

定义:一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推证法或由因导果法. 逻辑关系：用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为：PQ1(Q1Q2)Q2Q3.....QnQ

思维特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，即“由因导果”。

书写格式：“因为......所以......”

例题2 已知a1，a2，

，anR，且a1a2an1，求证：(1a1)(1a2)(1an)2n

分析：观察要证明的结论，左边是n个因式的乘积，右边是2的n次方，再结合a1a2an1，发现如果能将左边转化为a1，a2，，an的乘积，问题就能得到解决。

跟进练习：在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．

分析：1.将A,B,C成等差数列,转化为符号语言就是2B=A+C

2. a,b,c成等比数列转化为符号语言就是b=ac

3.隐含条件A,B,C为△ABC的内角,A+B+C=180°. 边和角统一起来，用余弦定理进行证明.

例3

求证2736. 分析：发现用比较法，综合法都不太好证，所以我们从结论出发。

2证明因为27和36都是正数,所以要证2736,只需证27

2236.

展开得92149218,只需证1418,只需证1418.

因为1418成立,所以2736成立.

上述就是分析法证明。从上述证明过程可以发现，如果14<18出发逐步倒推，即

1418141892149218（27)2(326）2736

也能得出结论，这实际上就是综合法证明。因此，综合过程正好与分析过程相反，只是如果没有分析过程，我们很难想到要以14<18作为证明的出发点。

思考交流：1.分析法条件与结论的位置 2.推证的方向 3.推证的书写格式

（2）分析法

1.定义：从要证结论出发,逐步寻求结论成立的充分条件,直到所需条件为已知或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理性质等）从而得出要证的命题成立

2.逻辑关系：用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则分析法可表示为：Q(结论)P已知或明显成立的条件).

nP2P1P(3.思维特点：从“未知”看“需知”,逐步靠拢已知,即“执果索因”. 4.分析法的书写格式：要证：...... 只需证：...... 只要证：...... 即证......显然成立

所以,结论成立

5、分析法的适用范围：①已知条件与结论之间的联系不够明显、直接; ②证明中需要用哪些知识不太具体明确; ③特别是含有根号、绝对值的等式或不等式的证明,常考虑用分析法. 当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述，表达整个证明过程。

跟进练习 证明：85107.

a2b2b2c2c2a2例4已知a,b,c0,求证abc.abc

（三）课堂小结：

1.证明的方法：

2.两种方法的比较

3.失误防范：分析法的证明格式

4.解题思想方法：

（四）布置作业：

课本P25页 1、2

教学反思:本堂课的内容在必修5已经有了初步的认识，但他们对这些证明方法的内涵和特点不一定非常清楚，本节课通过实例，引导学生归纳和总结出综合法与分析法的特点，促使学生对综合法与分析法有较为完整的认识，然后再给出例题和习题让他们实际操作，培养了学生的数学计算能力，分析能力，逻辑推理能力。但由于学生基础较差，知识遗忘严重，再加上学生本来就对证明题毫无头绪，证明格式毫无章法，所以在一定程度上影响了教学进度，使课堂上气氛比较紧张，所以在以后的教学过程中，要特别注意学生的实际水平，让学生提前预习，以保证课堂教学进度。