3.1.2 复数的几何意义名师教学实录

《复数的几何意义》教学设计

教学

目标

教学

重点

教学

难点

教学

方法

媒体

运用

1、知识目标：理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数代数式加法、减法运算的几何意义。

2、能力目标：渗透转化、数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力。

3、情感目标：引导学生观察现象，发现问题，提出观点，验证结论，培养良好的学习思维品质。

复数的几何意义

复数与向量的关系；复数模的几何意义；复数减法的几何意义。

问题启发

班班通

1、微观与宏观：每一节数学课，一方面需要完成具体数学知识、方法等微观教学任务；另一方面，作为整个数学学科教学的一个有机组成部分，同时也肩负着培养学生数学思想，形成数学观，整体认识数学学科等的宏观教学任务。

2、探索与指导：人类对客观世界的认识离不开探索，但所有知识都通过探索去获得是没有必要的。也是不可能的。本课的设计中希望学生在教师的指导下作小范围的必要的教学探索活动，使整个教学更有序。、更有效。

3、兴趣与毅力：兴趣是学习良好的开端，毅力是学习的保证。在课的设计中一方面要安排一些有趣、直观、易于理解的内容，另一方面也需要有一定难度的思维训练，因为数学学习不可能是一件十分轻松的事情。

教学进程

一、问题情景

问题1：对于复数a+bi和c+di(a,b,c,d ∈R)，你认为满足什么条件时，这两个复数相等？

（a=c且b=d，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等。）

问题2：若把a,b看成有序实数对（a,b），则（a,b）与复数a+bi是怎样的对应关系？有序实数对（a,b）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一对应关系）

实数可以用数轴上的点来表示

实数 一一对应 实数轴上的点

（几何模型）

数

形

问题3：类比实数的性质，你能否找到用来表示复数的几何模型？还能得出复数其他的一些性质吗？

（学生猜测，讨论，形成一些共识）

设计意图

回忆旧知，吸引学生的注意力；揭示确定一个复数的条件，为新课的传授作必要的铺垫。

以学生熟悉的知识为载体，采用类比的方法，引导学生对比、思考、愤悱，调动他们的积极性和主动性，活跃课堂气氛，拓展思维宽度，从而使新课更加顺理成章的展开。

设

计

说

明

教

学

过

程

二、建构数学

1、复平面的概念

把建立的直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示虚数。

y bZ=a+bi Z(a,b) oax

面向全体学生（属基本题型），巩固概念，体会数形结合思想，重y

视一题多变，较全面地Z(a,b) 理解复数、复平面内的

点、始点为原点的向量3

三者的关系。

2 C

B A



x

-2 1

2

3

2、复数的几何意义

复数a+bi，即点Z（a,b）（复数的几何形式）、即向量OZ（复数的

向量形式。以O为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数。）

三者的关系如下：

复数

zabi

复平面

平面向量

内的点

OZ

Z（a,b）

[巩固练习]

（1）、在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：

4，2+i，-1+3i，3-2i，-i

（2）、“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（ ）。

(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

（3）、复平面内，表示一对共轭复数的两个点具有怎样的位置关系？

变式：第二象限的点表示的复数有何特征？

问题4：实数可以比较大小，任意两个复数可以比较大小吗？认为阐明复数与实数可以者，请拿出进行比较的方法；认为不可以者，请说明理由。

的联系和区别，实数能（学生讨论，回答，纠正错误，形成共识）

比较大小，虚数不能比3、复数的模（或绝对值）

较大小，是实数的复数能比较大小，能比较大向量OZ的模叫做复数Z=a+bi的模（或绝对值），记作Z或abi。小的复数只能是实数。复数可看作是向量如果b=0，那么Z=a+bi就是实数a，它的模等于a（即实数a的绝对值）。

OZ，向量不能比较大Z=abi=ab

[巩固练习] （1）、已知复数Z1=3+4i，Z2=-1+5i，试比较它们模的大小。

（2）、若复数Z=3a-4ai(a<0)，则其模长为 。

拓展与延伸：

（3）满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？这些复数对应的点在复平面内构成怎样的图形？其轨迹方程是什么？

（4）设Z∈C，满足2

问题5：既然复数可以用复平面内过原点的向量来表示，那么，复数的加法、减法有什么几何意义呢？它能像向量加法、减法一样，用作y 图的方法得到吗？

Z

Z2

Z1

x

O

22小，但向量的模可以比较大小，从而引出复数的模（或绝对值）。

通过知识的分层练习，使学生明确复数的模（或绝对值），即点Z到复平面原点的距离，会求复数的模。

（3）（4）中利用计算机动画，体会数形结合思想，加深数与形的相互转化。

培养学生的类比猜想能力，逐步形成“观察——类比——猜想——质疑——验证——应用”获取知识的手段和方法，提高学生分析问题、解决问题的能力。

（学生讨论，动手实践，回答；后用计算机作图并用平面几何理论证明）

4、复数加法、减法的几何意义

设向量OZ1，OZ2分别与复数a+bi，c+di对应，且OZ1，OZ2不共线，以OZ1，OZ2为两条邻边画平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ所表示的向量OZ就是复数（a+c）+(b+d)i对应的向量。（平行四边形法则）

根据复数减法的定义和复数加法的几何意义，可以得到复数减法的几何意义。（三角形法则，过O作与其相等的向量）

y

Z2

Z1

0 x

Z

设Z1=a+bi，Z2=c+di，则Z1-Z2=（a-c）+（b-d）i 故Z1Z2Z2Z1(ac)2(bd)2

表明：两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点之间的距离。

三、数学应用

2例1 ．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m－8m＋15)＋2(m－5m－14)i的点

(1)位于第四象限？

(2)位于第一、三象限？

(3)位于直线y＝x上？

m－8m＋15＞0解：(1)由2m－5m－14＜02

例1训练学生对复数几何意义的运用，渗透数形转化思想，培养学生严谨的思维品质，有利于学生对复数几何意义的理解。

m＜3或m＞5，⇒－2＜m＜7.

解得－2＜m＜3或5＜m＜7，此时复数z对应的点位于第四象限．

22m－8m＋15＞0m－8m＋15＜0，(2)由2或2

m－5m－14＞0m－5m－14＜0.22可等价转化为(m－8m＋15)(m－5m－14)＞0，

即(m－3)(m－5)(m＋2)(m－7)＞0，

利用“数轴标根法”可得：m＜－2或3＜m＜5或m＞7，此时复数z对应的点位于第一、三象限．

(3)要使复数对应的点在直线y＝x上，需m－8m＋15＝m－5m－14，29在理解复数有关解得m＝.此时，复数z对应的点位于直线y＝x上．

3几何意义的基础上，将复数几何意义应用推 广到用复数研究解析（解不等式组；解不等式组无解）

几何某些曲线等问题，

使学生进一步体会复相互转化

表示复数的点所在象限的问题 数的实部与虚部数减法几何意义的重所满足的不等式要性，认识到复数与其组的问题

它数学内容之间的联(几何问题) （代数问题）

系。

数学思想：数形结合、转化思想

例2 ．已知z1＝2－2i，且|z|＝1，求|z－z1|的最大值．

解：如图，∵|z|＝1，z的轨迹可看成半径为1，圆心为点(0,0)的根据课堂学生的圆．

反应，控制上课节奏；而z1对应坐标系中的点Z1(2，－2)，

来不及讲的话，可将它作为课后思考题；重视一题多解，一题多变，感受数形结合的美妙。

∴|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)与圆上的点的最大距离，

由图知|z－z1|max＝22＋1. 回顾、反思打破了

原有回顾知识的格局，

主要安排体现三部分，即知识梳理、技巧与警 示、重要的数学思想方法，为学生的后续学习（备用题：）

奠定基础提高他们的已知，复数Z1=3+4i，复数Z满足ZZ12，求Z的最值。

认识水平。

（代数方法；几何方法）

四、回顾反思

1、请同学们依据板书顺序回顾课堂全程内容。

2、请同学们谈谈对复数几何意义的认识。

3、重现复数加法、减法的几何意义的内容。

4、体会数形结合思想，加强复数与其它数学内容的联系。

五、作业

1．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z的对应点的轨迹是(

) A．1个圆

B．线段

C．2个点

D．2个圆

2．复数z＝(a－2)＋(a＋1)i，a∈R对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是________．

13133．在复平面内画出复数z1＝＋i，z2＝－1，z3＝－i对应的222222

→→→向量OZ1，OZ2，OZ3，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．