3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案（名师）

复数代数形式的四则运算（1）

一. 教学目标：

掌握复数的乘法与除法运算

二、教学重点难点

重点

复数的乘法与除法运算

难点

复数模的理解

三. 教学内容：

1. 复数的乘法法则：

设z1abi，z2cdi（a，b，c，dR）

则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i

即两个复数相乘，按照多项式相乘的法则进行，只需注意把i2换成－1，并且把实部、虚部分别合并。

2. 按照以上的乘法法则，可知复数的乘法满足交换律、结合律，这一点容易证明。（建议同学们自己证明）

另外，正整数指数幂的运算律也可以推广到复数集中，即

mmmnmnmnmnm

zzz；(z)z；(z1z2)z1z2(m，nZ)

n

3.关于i（nN）的周期性：

1234

ii，i1，ii，i1；

5678

ii，i1，ii，i1，……

4n1i，i4n21，i4n3i，i4n41

in1n2

即：若n被4除余1，则ii；若n被4除余2，则ii；

n3n4

若n被4除余3，则ii；若n被4除余4，则ii。

101199932000i4

例如：ii，ii，i

4.关于zz的值

2222

设zabi，则zabi（a，bR），从而

zz(abi)(abi)ab|z||z|

即：互为共轭复数的两个复数的积，等于其中一个复数的模的平方。

2

zz|z|是除了复数相等以外进行实虚转化的另一重要桥梁。

22

逆用该等式，可以对形如ab的因式进行因式分解（a，bR）

222

即ab(abi)(abi)，例如x2(x2i)(x2i)

这样，在实数集内不能分解的因式到复数集内仍可分解。

5. 复数的除法法则

两个复数相除，把商式的分子，分母同乘以分母的共轭复数，并把结果化简后，实部、虚部分离，即把商式分母实数化的过程。

1i(1i)(1i)(1i)22i例如：i1i(1i)(1i)22

【典型例题】

例1. 计算：

（1）(12i)(2i)(34i)100

（3）(1i)（2）(1i)2(1i)2

解：（1）原式(43i)(34i)25i

（2）原式2i(2i)4i

或利用平方差公式：

原式[(1i)(1i)][(1i)(1i)]2(2i)4i

2

（3）注意到(1i)2i

10025050505050250

(1i)[(1i)](2i)2i2i2

例2. 在复数集内分解因式：

4

（1）a1（2）x22x3（a，xR）

422

解：（1）a1(a1)(a1)(ai)(ai)(a1)(a1)

22

（2）x2x3(x1)2(x12i)(x12i)

例3. 求4及86i的平方根。

解：（1）设4的平方根为xyi（x，yR）

2

则(xyi)4

22

即(xy)2xyi4

x2y24x2y24x2y24x0由复数相等，得或2xy0x0y0y2



4的平方根为2i或2i

（2）设86i的平方根为xyi（x，yR）

2

则(xyi)86i

22

即(xy)2xyi86i

x2y28x3x3由复数相等，得或y1y1

2xy6

86i的平方根为3i或3i

注：求一个复数的平方根，只需利用平方根的定义，以及复数相等的条件，即可把问题转化为已知的问题。

z23z6设z1i，求复数的模。z1

例4.

分析：只需把z＝1＋i代入关于z的表达式，即可经过复数的乘除加减运算，得到复数ω，进一步根据模的定义，求出|ω|。

注意：由于ω的表达式中关于z的运算除了乘除运算外，还包含加减运算，因此无法运用模的运算性质求值。

(1i)23(1i)62i(33i)63i1i(1i)12i2i

解：

|||1i|2

求复数(43i)5312(i)(23i)422的模。

例5.

解：可直接利用复数模的运算性质，以简化运算。

|||43i|5|312i||23i|42255(5)453125

6、课堂练习，见课本

7、课堂小结