本章小结名师教学设计1

学

科

教学目标

高一数学

课题

立体几何章末复习——三视图

课型

复习课

掌握高考三视图考察动向，掌握三视图处理办法—特征图像法，“擦”“圈“点法

重

高考三视图考察方向及处理办法

点

难

“擦”“圈“点法还原三视图

点

教学过程设计

一、引课

纵观历年来高考立体几何方面的试题，以考查空间线面的位置关系为核心特别注重检测线线、线面、面面之间的平行与垂直关系的判断、推理与证明，非常重视空间中线线角、线面角和二面角这三种角的考查。试题常常以“两小题，一大题”的模式呈现，即一般考查“两个选择型或填空型小题”，必考“一个解答型大题”，其分值大约占据整份试卷的15%。透析近年来的高考立体几何中线面关系方面的考题，其“考查题型”及“测试重点”一般集中在以下几个方面：以综合交汇空间中直线与平面各种位置关系为主体的真假判断型小题；以常见简单几何体或三视图为载体的体积与面积或空间角的计算型小题；以线面平行或垂直关系论证及空间角等有关计算为重点的综合性解答大题；以运动或动态的观点（含图形翻折）设置的“是否存在型”探索开放型试题。预计2018年这部分高考仍然会延续以上的命题思路与特点，我们必须紧紧围绕上述命题方向与要求，选择经典例题，进行针对复习。

二、高考题分析

2014年理科（新课标卷二Ⅱ）6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）

A. 17 B. 5 C. 10 D. 1

279327

考点：此题考查三视图还原直观图，以及圆柱体积计算方法

高考的命题意图：高考中对空间几何体的三视图的考查，主要有三个层次的要求：能画、能识别和能运用。此题主要考查识别，从图中看出这是一个螺杆的三视图，要求从图中看出螺杆的各项数据，并据此计算螺杆的体积。难度不大，属于较易题目。

此题学生错误率低，不易出错

学法指导：三视图还原直观图的一般规律，要根据三视图的特征图形还原。三视图的特征图形有三种，垂直、圆、实线与虚线。

三、特征图形法讲解

特征图形一：垂直。三视图中的垂直关系体现投影垂直，意味着存在互相垂直的直线或平面。若三视图中出现直角三角形，矩形，直角梯形，直线与直线垂直等，首先分析这

些垂直关系的几何意义。

例如

2015年理科（新课标卷二Ⅱ）（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

1111（A） （B） （C） （D） 8765考点：此题考查三视图还原直观图，使用的方法是以长方体为载体，寻找直观图的点、线的方法，也是现在还原方法中比较常见的一种。另一个考点就是几何体切割之后的体积算法，还是以三类基本几何体体积公式为计算依据，重点在于分辨出切割后的几何体属于哪一类。

高考的命题意图：三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.主要考查目的是考查同学们识图、画图的能力、空间想象能力以及运算求解能力等基本能力。此题虽考查了几何体的切割问题，但是重点在于如何在长方体中还原三视图的直观图。学生的易错点也是在这里。

学法指导:对于比较复杂的三视图可以将其嵌入长方体中，然后采用“擦点”和“圈点”的方法还原

四“擦点”和“圈点”的方法还原三视图

例1 (2014年全国卷Ⅰ理科12) 如图1, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗实线画出的是某多面体的三视图, 则该多面体的各条棱中, 最长的棱的长度为 ( ) .

本题重点考查学生的空间想象能力和运算求解能力.据当年全国考卷的统计, 得出本题难度系数是0.58, 可以看出本题是许多考生的噩梦.和其他三视图题型对比, 本题难在还原几何体. 解1.从三视图中不难看出, 这个几何体是从正方体中切割出来三棱锥, 因此先做正方体ABCD-A1B1C1D1

(如图2) . 2.对于容易判断原立体图的类型问题, 一般先从俯视图确定其底面形状.从俯视图看出, 若要得到如上底面是三角形, 则AA1这条棱是肯定不需要的, 因此可将A, A1点“擦掉” (如图3, 图中的“×”表示“擦掉”该点.)

3.从正视图看, 要在正面出现该三角形, A、D点是一定不需要的, 因此把D点“擦掉” (如图4) .

4.这是本题最难想象的地方, 从侧视图看, 要在侧面出现等腰三角形, 结合正视图, 只能保留CC1, 还要将BB1的中点M“圈出”, 将B、B1“擦掉” (如图5)

例2 (2016年广州一模理11) 如图7, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某个四面体的三视图, 则该四面体的表面积为 () .

从三视图由三个三角形构成, 不难看出原几何体是三棱锥, 而且是由正方体中切割出的三棱锥, 因此可以通过“擦点”和“圈点”, 还原几何体. 解1.做一正方体ABCD-A1B1C1D1, 如图8;

2.根据俯视图所示, 不难判断“擦掉”D1、D、B1、B点, 同时“圈出”M及M'点 (如图9) ; 3.根据正视图所示, “擦掉”A及M'点 (如图10) ;

4.“圈出”剩下A1、C1、C、M点, 刚好构成三棱锥的4个顶点, 因此连结4个点, 还

原成三棱锥C-A1C1M (如图11) ;

以上例题都是嵌入在正方体中的, 来看一例在长方体中嵌入的几何体三视图. 例3 (2016年太原一模文9) 某空间几何体的三视图如图12所示, 则此几何体的体积为 () . A.10 B.15 C.20 D.30

本题属于中档容易的题目.有了前两题的经验, 从三视图可以看出, 只要在长方体中进行“擦点”, “圈点”, 即可还原几何体. 解1.做长方体ABCD-A'B'C'D' (如图13) ; 2.根据俯视图, “擦去”B和B' (如图14) ; 3.本题难点就在此处.从正视图看, 要出现虚线, 要么连接A'D, 要么连接A'C;从侧视图看, 要出现虚线, 要么连接C'D, 要么连接C'A;结合两者观点, 易得A'D∩C'D=D, 因此“圈出”D, “擦掉”D' (如图15) ;

4.分别连接D、A'、A、C、C', 得到四棱锥D-A'ACC' (如图16) ;

总结: (1) “擦点”的思想类似选择题的“排除法”, 即需要先设定好长方体或正方体, 将其中不需要的点“擦掉”, 排除干扰, “圈出”可以确定的点, 所以对嵌入长方体的几何体三视图问题十分便捷有效. (2) 排除点后, 也需要针对题目因地制宜的“圈出”确定的点, 如例1中的点M、例2的点M、例3的点D, 需要结合正视图和侧视图才能确定.

作业

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学

反

思