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独立性检验教案

引例；日常生活中，我们常常关心两个分类变量之间是

否有关系，例如吸烟是否与患肺癌有关系？性别是否对

于喜欢数学课程有影响等等

探究：

为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）

吸烟与患肺癌列联表

吸烟

不吸烟

总计

患肺癌

49

42

91

不患肺癌

2099

7775

9874

总计

2148

7817

9965

在不吸烟者中患肺癌的比重是

在吸烟者中患肺癌的比重是

列联表:列出两个分类变量的频数统计表

分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同

类别，这样的变量称为分类变量. 性别有两种

男、女

性别变量，只取男、女两个值

注：分类变量的取值一定是离散的，而且不同的

取值仅表示个体所属的类别

如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级，等等.

独立性检验

H0：

吸烟和患肺癌之间

没有关系

吸烟与患肺癌列联表

不吸烟

吸烟

总计

不患肺癌

a

c

a+c

患肺癌

b

d

b+d

总计

a+b

c+d

a+b+c+d

不吸烟的人中不患肺癌的比例：

aab

c吸烟的人中不患肺癌的比例：

cd

ac≈,H0成若立

a+bc+d

 ac+d≈ca+b,

adbc0.

ad-bc越小，说明吸烟与患肺癌之间的关系越弱，

ad-bc越大，说明吸烟与患肺癌之间的关系越强

引入一个随机变量：卡方统计量

2

nadbc2K

abcdacbd

其中nabcd

作为检验在多大程度上可以认为“两个变量有关系”的标准

。

adbc

吸烟与患肺癌列联表

吸烟

不吸烟

总计

通过公式计算

患肺癌

49

42

91

不患肺癌

2099

7775

9874

总计

2148

7817

9965

77754942209956.632

9965k78172148987491

2

已知在

H0

成立的情况下，

P(K26.635)0.010

即在H0

成立的情况下，

大于6.635概率非常小，近似为0.010

现在的

k

=56.632的观测值远大于6.635，出现这样的观测值的概率不超过0.010。

故有99%的把握认为H0不成立，即有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关系”。

用卡方统计量来确定在多大程度上可以认为

“两个分类变量有关系”的方法称为这两个分类变

量的独立性检验。

一般地，对于两个分类变量X和Y。X有两类取值：

即类

和

（如吸烟与不吸烟）；Y也有两类取值：

即类

和

（如患病与不患病）。于是得到下列样

本频数的2×2列联表为：

x1

x2

y1y2

总计

a+b

c+d

a+b+c+d

总计

要推断“X和Y有关系”，可按下面的步骤进行：

（1）提出假设H0 ：X和Y没有关系；

（2）根据2×2列联表与公式计算k 的值；

（3）查对临界值，作出判断。

P（

）

0.50

0.05

3.841

0.455

0.025

5.024

0.40

0.708

0.010

6.635

0.25

1.323

0.005

7.879

0.15

2.072

0.001

10.828

0.10

2.706

y1a

c

a+c

b

d

b+d

应用：

例1为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关

系。在某城市的某校高中生随机抽取300名学生。得到

如下列联表：

性别与喜欢数学课程列联表

性别与喜欢数学课喜欢

程列联表

男

女

总计

37

35

72

不喜欢

总计

85

143

228

122

178

300

由表中数据计算得到K2的观测值k≈4.514。能够以95％的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？为什么？

解：在假设

“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”

的前提下，

应该很小，并且

P(K23.841)0.05

而我们所得到的

2

的观测值

k



4

.

514

超过3.841，这就

K意味着“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”这一结论

是错误的可能性约为0.05，即有95%的把握认为“性别与

是否喜欢数学课程之间有关系”。

(湖南卷理科4)通过随即询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

爱好

不爱好

总计

男

40

20

60

女

20

30

50

总计

60

50

110

算得

附表：

0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 参照附表，得到的正确结论是

A.在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

B. 在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

C. 由99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D. 由99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”