3.三个正数的算术-几何平均不等式教学设计一等奖｜教案在线预览

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普通高中课程标准实验教科书选修4-5 不等式选讲（人教A版）专题一均值不等式及其应用【基础知识】1.实数运算性质与大小顺序的关系数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：ab0 ；ab0 ；ab0

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所属课文：3.三个正数的算术-几何平均不等式

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3.三个正数的算术-几何平均不等式教学设计一等奖

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关键词：3.三个正数的算术…教学设计一等奖

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普通高中课程标准实验教科书

选修4-5

不等式选讲

（人教A版）

专题一

均值不等式及其应用

【基础知识】

实数运算性质与大小顺序的关系

数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：

ab0 ；

ab0 ；

ab0 .

2. 不等式的基本性质：（其中a,b,c,d均为实数）

（1）（对称性） ab ；

（2）（传递性） ab，bc ；

（3）（加法法则）ab，cR ；

ab，cd ；

（4）（乘法法则）ab，c0 ；

ab，c0 ；

nn（5）（乘方法则）ab0

a

(nN，且n>1) . （6）（开方法则）ab0

na

(nN，且n>1). 3.基本不等式

（1）如果a,bR，则ab≥2ab，当且仅当时，等号成立；

（2）如果a,bR，则22ab≥ab，当且仅当时，等号成立；

2abc3≥abc，当且仅当时，等号成立；

3即：两个正数的算术平均不小于它们的集合平均；

（3）如果a,b,cR，则即：三个正数的算术平均不小于它们的集合平均；

推论：对于n个正数a1,a2,a3,...,an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即：

a1a2a3...ann≥a1a2a3...an，当且仅当时，等号成立. n（4）基本不等式的常用变形：

ab2)，当且仅当时，等号成立；

2abc3)，当且仅当时，等号成立. 如果a,b,cR，则abc≤(3如果a,bR，则ab≤((5)重要不等式串

：对于n个正数a1,a2,a3,...,an，有下列不等式成立

a12a22a32...an2a1a2a3...annn

a1a2a3...an1111nn...a1a2a3an第

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【高考链接】

（2010山东卷）若对任意x＞0，【典型例题】

例1

设(0,),求函数y(1cos)sinxa恒成立，则a的取值范围是．

2x3x12的最大值.

在使用均值不等式解题时，根据问题的结构，常常需要配合一定的变形技巧，才可以把问题化成适合使用平均不等式的结构形式。现举例说明如下。

一、拆项

例1 已知（为正常数），求函数的最大值。

二、凑项

例2 已知

三、配项

，求函数的最小值。

例3 已知为正数，且

求证：

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关于本教案的常见问题

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